Il cacciatore (la motovedetta) insegue la preda (il contrabbandiere) in linea retta; le loro velocità sono rispettivamente $v_{\script C}$ e $v_{\script P}$: quando la preda entra nel banco di nebbia la situazione è quella illustrata in figura
La preda comincia a seguire una nuova rotta che forma un angolo $\varphi$ con la precedente: nel caso del banco di nebbia abbiamo che $- \frac \pi 2 \/ \leq \/ \varphi \/ \leq \/ \frac \pi 2$, ma la soluzione vale anche per $- \pi \/ \leq \/ \varphi \/ \leq \/ \pi$.
La strategia del cacciatore consiste nel mantenere la rotta fino a che la sua distanza dal punto $\text O$ (in cui la preda è entrata nel banco di nebbia) non è uguale a quella raggiunta nel frattempo dalla preda.
La distanza si ricava dal sistema
$\left \{ \begin{eqnarray} d & = & v_{\script P} \/ t \\ \overline {\text PO} \/ - \/ d & = & v_{\script C} \/ t \end{eqnarray}\right .$
ovvero
$\frac {\overline {\text PO} -d} d \/ = \/ \frac { v_{\script C}}{v_{\script P}} \/ = \/ k \/ = \/ 2$
cioè
$d \/ = \/ \frac {\overline {\text PO} -d} {k + 1} \/ = \/ \frac 1 6$
Dato che, per incontrare la preda, il cacciatore deve trovarsi alla medesima distanza da $\text O$, da questo punto in poi la sua rotta - che cercheremo di descrivere con un’equazione polare con $r$ e $\vartheta$ presi secondo la normale convenzione rispetto a $\text O$ - deve essere tale che la componente radiale della sua velocità sia uguale in modulo a $v_{\script P}$: l’altra componente, quella angolare, si calcola mediante il teorema di Pitagora (ne più, ne meno)
$v_{\script A} \/ = \/ \sqrt {v_{\script C}^{\script 2} - v_{\script P}^{\script 2}} \/ = \/ v_{\script P} \/ \sqrt {k^{\script 2} - 1} \/ = \/ v_{\script P} \/ \sqrt {3}$
Sostituendo
$v_{\script A} \/ = \/ r \/ \frac {d \vartheta} {dt}$
e
$v_{\script P} \/ = \/ \frac {dr} {dt}$
moltiplicando per $dt$ ambo i membri e separando le variabili si ottiene
$\frac {dr} r \/ = \/ \frac {\sqrt {3}} 3 \/ d \vartheta$
e integrando
$\log r \/ = \/ \frac {\sqrt {3}} 3 \/ \vartheta \/ + \/ c$
dove $c$ è una costante arbitraria; ancora
$r \left ( \vartheta \right ) \/ = \/ a \/ e^{\script \frac {\sqrt {3}} 3 \/ \vartheta}$
dove $a \/ = \/ e^{\script c}$ è una costante arbitraria. Per trovarne il valore facciamo uso del fatto che quando il cacciatore incomincia la nuova rotta si trova alla distanza $d \/ = \/ \frac 1 6$ da $\text O$ e ad un angolo $\vartheta \/ = \/ \pi$: quindi
$r \left ( \pi \right ) \/ = \/ a \/ e^{\script \frac {\sqrt {3}} 3 \/ \pi} \/ = \/ d$
da cui
$a \/ = \/ d \/ e^{\script -\frac {\sqrt {3}} 3 \/ \pi}$
ed infine
$r \left ( \vartheta \right ) \/ = \/ \frac 1 6 \/ e^{\script \frac {\sqrt {3}} 3 \/ \left ( \vartheta - \pi \right )}$
l’equazione di una spirale logaritmica.
La cattura avviene quando $\vartheta \/ = \/ 2\pi \/ + \/ \varphi$.
Per sapere quanto è lungo il percorso del cacciatore basta ricordare che esso è il doppio di quello della preda (velocità doppia, stesso tempo...): $s \/ = \/ 2 \/ r \left (2\pi + \varphi \right ) \/ = \/ \frac 1 3 \/ e^{\script \frac {\sqrt {3}} 3 \left (\pi + \varphi \right )}$; e, ovviamente, il tempo necessario è $t \/ = \/ \frac {r \left (2\pi + \varphi \right )} {v_{\script P}}$.
La spirale è data dalla combinazione di un moto circolare costante e un moto radiale costante: quando si ha che $- \pi \/ \leq \/ \varphi \/ \leq \/ \pi$, allora $\pi \/ \leq \/ \vartheta \/ \leq \/ 3\pi$, il ramo di spirale logaritimca si sviluppa per 360° e il cacciatore compie un giro completo intorno al centro del sistema di riferimento. La cattura è assicurata.
Evidenti ragioni di simmetria impongono che (come è già stato notato) anche la spirale speculare rispetto alla rotta iniziale sia una soluzione valida.
Ho sbagliato a scrivere il testo del quesito lasciando meno gradi di libertà al contrabbandiere e più alla guardia di finanza.