Baci e a...bbraci
La caccia
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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La caccia
Un contrabbandiere di sigarette fugge su un gommone alla velocità di 5 nodi, inseguito da una motovedetta della capitaneria di porto che procede alla velocità di 10 nodi. Quando le due imbarcazioni sono alla distanza di 1/2 miglio il gommone entra in un banco di nebbia; il comandante della motovedetta sa che il gommone continuerà ad avanzare in linea retta ma non sa in quale direzione: può egli condurre la motovedetta per una rotta tale da essere certo di abbordare il gommone?
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il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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dobbiamo anche presumere che l'inseguimento avvenga esattamente sulla stessa rotta. O meglio, potremmo anche immaginare le due barche su rotte parallele, ma per semplicità....
Ipotizziamo che il fuggitivo, appena nella nebbia, viri a sinistra di 90°: il capitano della polizia deve immaginare un triangolo rettangolo il cui cateto lungo sia il mezzo chilometro di distanza, e in cui il cateto corto e l'ipotenusa siano in rapporto 1 a 2; e, naturalmente, avviarsi lungo l'ipotenusa.
Se, quando arriva alla nebbia, non si imbatte nel fuggitivo, significa che non era quella la rotta scelta dal contrabbandiere. il quale comunque, in quel preciso momento si trova certamente in un qualche punto sulla semicirconferenza con centro nel punto di ingresso dell'inseguito e raggio pari alla distanza tra tale punto e quello in cui è giunta la motovedetta.
Da qui in avanti i finanzieri dovranno descrivere un ampio arco tale il percorso degli inseguitori sia il doppio dell'allungamento del "raggio" percorso dall'inseguito.
La prima tratta dell'inseguimento (quella prima che lam polizia raggiunga il banco di nebbia) può assumere anche altre traiettorie. Quella più semplice consiste nel percorrere due lati di un quadrato di lato pari a mezzo chilometro.
Ipotizziamo che il fuggitivo, appena nella nebbia, viri a sinistra di 90°: il capitano della polizia deve immaginare un triangolo rettangolo il cui cateto lungo sia il mezzo chilometro di distanza, e in cui il cateto corto e l'ipotenusa siano in rapporto 1 a 2; e, naturalmente, avviarsi lungo l'ipotenusa.
Se, quando arriva alla nebbia, non si imbatte nel fuggitivo, significa che non era quella la rotta scelta dal contrabbandiere. il quale comunque, in quel preciso momento si trova certamente in un qualche punto sulla semicirconferenza con centro nel punto di ingresso dell'inseguito e raggio pari alla distanza tra tale punto e quello in cui è giunta la motovedetta.
Da qui in avanti i finanzieri dovranno descrivere un ampio arco tale il percorso degli inseguitori sia il doppio dell'allungamento del "raggio" percorso dall'inseguito.
La prima tratta dell'inseguimento (quella prima che lam polizia raggiunga il banco di nebbia) può assumere anche altre traiettorie. Quella più semplice consiste nel percorrere due lati di un quadrato di lato pari a mezzo chilometro.
Enrico
Trattasi del "problema del pescatore con rete a strascico". Nella versione classica la nebbia cala all'improvviso sicché il contrabbandiere può scegliere qualsivoglia direzione.
La rotta dell'inseguimento, prima che cali la nebbia, è irrilevante, ciò che conta è che il contrabbandiere mantenga una velocità costante, pur cambiando direzione. Conoscendola la polizia potrà certamente intercettarlo, ammesso che possa muoversi molto più velocemente.
La rotta dell'inseguimento, prima che cali la nebbia, è irrilevante, ciò che conta è che il contrabbandiere mantenga una velocità costante, pur cambiando direzione. Conoscendola la polizia potrà certamente intercettarlo, ammesso che possa muoversi molto più velocemente.
[Sergio] / $17$
Nel mio problema il contrabbandiere mantiene una velocità costante in una direzione costante (anche se, forse, diversa da quella originale): la soluzione funziona qualsiasi sia l'angolo che la nuova rotta forma con la vecchiaQuelo ha scritto:Trattasi del "problema del pescatore con rete a strascico". Nella versione classica la nebbia cala all'improvviso sicché il contrabbandiere può scegliere qualsivoglia direzione.
La rotta dell'inseguimento, prima che cali la nebbia, è irrilevante, ciò che conta è che il contrabbandiere mantenga una velocità costante, pur cambiando direzione. Conoscendola la polizia potrà certamente intercettarlo, ammesso che possa muoversi molto più velocemente.
il panurgo
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sarà cosi?
sistema di riferimento:
x=0 inizio del fronte di nebbia con asse x perpendicolare al fronte di nebbia
allora la curva cercata f(x) è la soluzione dell'equazione integrale:
int(sqrt(f'(x1)+1)dx1)*k=sqrt(f(x)^2+x^2)
(integrale da x1=0 x1=x)
con k=V_fuggitivo/V_inseguitore
con
f(0)=punto di cattura se i fuggitivi segussero la direzione
parallelamente al fronte di nebbia.
x=0 inizio del fronte di nebbia con asse x perpendicolare al fronte di nebbia
allora la curva cercata f(x) è la soluzione dell'equazione integrale:
int(sqrt(f'(x1)+1)dx1)*k=sqrt(f(x)^2+x^2)
(integrale da x1=0 x1=x)
con k=V_fuggitivo/V_inseguitore
con
f(0)=punto di cattura se i fuggitivi segussero la direzione
parallelamente al fronte di nebbia.
Re: sarà cosi?
Non sono riuscito a capire bene la tua soluzione Archimede, provi a rispiegarmela un'attimo?archimede ha scritto:sistema di riferimento:
x=0 inizio del fronte di nebbia con asse x perpendicolare al fronte di nebbia
allora la curva cercata f(x) è la soluzione dell'equazione integrale:
int(sqrt(f'(x1)+1)dx1)*k=sqrt(f(x)^2+x^2)
(integrale da x1=0 x1=x)
con k=V_fuggitivo/V_inseguitore
con
f(0)=punto di cattura se i fuggitivi segussero la direzione
parallelamente al fronte di nebbia.
Io sono partito da una condizione semplificata, ipotizzando che i contrabbandieri potessero prendere solo determinate rotte; nell'immagine allegata ho ipotizzato che fossero multipli di 45°.
La rotta della motovedetta è quella indicata in azzurro e sembra descrivere, dopo entrata nella nebbia, un arco di spirale.
Per generalizzare e trasformare questa traiettoria in un'equazione avevo pensato di usare coordinate polari ma, per ora, sono incagliato (per restare sul marinaresco
)P.S. L'immagine è tracciata ad occhio, se andate a misurare troverete che 2b non è il doppio di b ma l'importante è capirsi!
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
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come sapete, sono curioso di capire i "sistemi di ragionamento" applicati da chi affronta problemi.
Base5 è al riguardo una interessantissima palestra.
Lo schema di Franco corrisponde a pieno a quanto avevo costruito io nella mia cabeza.
Ma in realtà nulla vieta di immaginare la scena capovolta, o girata di 90°
E nulla vieta di far girare la motovedetta prima verso destra per poi descrivere l'arco di spirale in senso antiorario.
(In realtà nulla vieta di costruire il modello anche con una angolazione dei 57°43'18'' , ma sarebbe un bel caso psichiatrico!
Franco, hai adeguato il disegno al mio input, o corrisponde al tuo primo approccio spontaneo?
E voi, come avete "immaginato" la scena?
Base5 è al riguardo una interessantissima palestra.
Lo schema di Franco corrisponde a pieno a quanto avevo costruito io nella mia cabeza.
Ma in realtà nulla vieta di immaginare la scena capovolta, o girata di 90°
E nulla vieta di far girare la motovedetta prima verso destra per poi descrivere l'arco di spirale in senso antiorario.
(In realtà nulla vieta di costruire il modello anche con una angolazione dei 57°43'18'' , ma sarebbe un bel caso psichiatrico!
Franco, hai adeguato il disegno al mio input, o corrisponde al tuo primo approccio spontaneo?
E voi, come avete "immaginato" la scena?
Enrico
A parte i calcoli, poiché il fuggitivo può prendere qualsiasi direzione, anche invertendo la rotta, intuisco che le rotte di intercettazione siano due spirali simmetriche rispetto al punto d'origine, il quale credo debba trovarsi sul segmento che unisce le due posizioni al momento dell'entrata nella nebbia.
Ritengo che al momento dell'entrata nella nebbia del fuggitivo, l'inseguitore continui sulla precedente rotta per ancora 1/3 di miglio e poi inizi a percorrere una spirale, tale che il percorso effettuato sia doppio di quello effettuato dal fuggitivo.
Quindi il punto di origine della spirale si trova a 1/6 di miglio dal fuggitivo e ad 1/3 di miglio dall'inseguitore e corrisponde al punto di intercettazione nell'ipotesi in cui il fuggitivo inverta la rotta.
Ritengo che al momento dell'entrata nella nebbia del fuggitivo, l'inseguitore continui sulla precedente rotta per ancora 1/3 di miglio e poi inizi a percorrere una spirale, tale che il percorso effettuato sia doppio di quello effettuato dal fuggitivo.
Quindi il punto di origine della spirale si trova a 1/6 di miglio dal fuggitivo e ad 1/3 di miglio dall'inseguitore e corrisponde al punto di intercettazione nell'ipotesi in cui il fuggitivo inverta la rotta.
_________________
$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Non credo di essere un paziente semplice, se qualcuno si prende la briga di analizzare i miei "sistemi di ragionamento" che, come hai precedentemente avuto modo di segnalare, sono pericolosamente tendenti all'anarchia.delfo52 ha scritto: Franco, hai adeguato il disegno al mio input, o corrisponde al tuo primo approccio spontaneo?
In questo caso io avevo mentalizzato e schizzato il disegno con la traiettoria iniziale dei natanti Ovest ->Est (*) ed il fronte di nebbia Nord-Sud.
Poi, appena come ho fatto il disegno in CAD ho visto che era meglio ruotarlo di 90° per adeguarlo al fatto che il monitor è più largo che alto e poter quindi lavorare con un maggiore ingrandimento!
(*) Magari c'entra il fatto che noi "occidentali" scriviamo da sinistra a destra; chissà se ad un Arabo verrebbe istintivo immaginare la prima traiettoria da destra a sinistra e ad un Giapponese immaginarla dall'alto in basso?
Franco
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Provo a spiegare
L'equazione che ho scritto diche che:
Al momento dell'incontro la lunghezza della curva
seguita da chi insegue sta alla lunghezza della curva di chi fugge come la velocità di chi segue sta alla velocità di chi fugge.
Supponiamo che l'incontro avvenga nel punto (x,f(x)):
la lunghezza della curva di chi insegue ad una data posizione x è:
int(sqrt(1+f'(x1))dx1) per x1 che varia da 0 a x
mentre la lunghezza della curva di chi fugge (essendo moto rettilineo)
si può calcolare senza nessun integrale tramite pitagora:
sqrt(x^2+f(x)^2)
da cui:
int(sqrt(1+f'(x1))dx1)/sqrt(x^2+f(x)^2)=v_inseguitore/v_fuggitivo
la curva che risolve l'equazione integrale è la tratettoria cercata.
Al momento dell'incontro la lunghezza della curva
seguita da chi insegue sta alla lunghezza della curva di chi fugge come la velocità di chi segue sta alla velocità di chi fugge.
Supponiamo che l'incontro avvenga nel punto (x,f(x)):
la lunghezza della curva di chi insegue ad una data posizione x è:
int(sqrt(1+f'(x1))dx1) per x1 che varia da 0 a x
mentre la lunghezza della curva di chi fugge (essendo moto rettilineo)
si può calcolare senza nessun integrale tramite pitagora:
sqrt(x^2+f(x)^2)
da cui:
int(sqrt(1+f'(x1))dx1)/sqrt(x^2+f(x)^2)=v_inseguitore/v_fuggitivo
la curva che risolve l'equazione integrale è la tratettoria cercata.
Q|_|3l0, l3gg1 tr0pp1 bl0g!mathmum ha scritto: Quelo, leggi troppi blog!
Ultima modifica di franco il sab nov 10, 2007 4:41 pm, modificato 1 volta in totale.
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