Se avvolgiamo una tabella quadrata 8x8 intorno ad un cilindro, in modo che lato destro e sinistro si tocchino, avremo righe, colonne e diagonali tutte da 8 caselle. In ogni riga mettiamo tutti i numeri da 1 a 8, nell'ordine che si vuole, con l'unica regola che non ci devono essere due righe uguali.
Se sommiamo modulo 8 tutti i numeri di una riga avremo:
Somma riga = 4 (mod 8 ).
Il problema consiste nel disporre i numeri nella tabella in modo da avere anche:
Somma diagonale = 4 (mod 8 )
per ognuna delle sedici diagonali.
Sotto, un esempio in cui però non tutte le diagonali hanno somma 4.
Somma diagonale rossa = 28 = 4 (mod 8 )
Somma diagonale blu = 36 = 4 (mod 8 )
1 2 3 5 6 4 8 7
2 7 1 5 4 3 8 6
8 2 1 6 4 5 3 7
8 1 7 3 4 6 2 5
8 5 6 4 2 1 3 7
1 2 4 8 3 6 5 7
7 6 5 4 3 1 2 8
3 8 7 1 5 6 2 4
Diagonali a somma fissa
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Sancho Panza
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Preciso come al solito!
L'hai trovata per tentativi, usando un programma per computer o usando qualche metodo particolare? Ci sono almeno due modi diversi per costruire tabelle nxn con n pari. Per n dispari è più facile.
No, no, ritiro la domanda. Avevo risposto di getto dopo un controllo delle diagonali. Addirittura non mi ero accertato se ogni riga conteneva i numeri da 1 a 8, ma ora che l'ho fatto ho visto la struttura ciclica. Aggiornamento: esistono almeno tre metodi diversi. Per non chiudere subito l'argomento chiederei:
Qualcuno riesce a trovare un altro metodo di costruzione?
L'hai trovata per tentativi, usando un programma per computer o usando qualche metodo particolare? Ci sono almeno due modi diversi per costruire tabelle nxn con n pari. Per n dispari è più facile.
No, no, ritiro la domanda. Avevo risposto di getto dopo un controllo delle diagonali. Addirittura non mi ero accertato se ogni riga conteneva i numeri da 1 a 8, ma ora che l'ho fatto ho visto la struttura ciclica. Aggiornamento: esistono almeno tre metodi diversi. Per non chiudere subito l'argomento chiederei:
Qualcuno riesce a trovare un altro metodo di costruzione?
-
Sancho Panza
- Livello 4
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- Iscritto il: gio ott 12, 2006 9:01 pm
Mah, la tabella è diversa, ma il metodo mi sembra lo stesso: mettere nelle diagonali 4 numeri pari e 4 dispari usando le stesse due sequenze ma spostate ciclicamente, che tra l'altro, pensandoci bene, è il metodo che mi era venuto in mente stamattina (utilizzando una sola sequenza, però). Adesso che ci siamo scaldati propongo un'ultima variazione, che in realtà corrisponde al mio problema originario ma temevo fosse troppo difficile, mentre ero anche interessato a vedere altri sistemi.
Costruire la tabella con questa sola regola:
Non ci possono essere due righe di cui una è ottenuta dall'altra tramite spostamento di k posti, per k = 1, 2, ..., 7, 8.
Costruire la tabella con questa sola regola:
Non ci possono essere due righe di cui una è ottenuta dall'altra tramite spostamento di k posti, per k = 1, 2, ..., 7, 8.
Queste tre tabelle
1 2 3 4 5 6 7 8.....1 2 3 4 5 6 7 8.....1 2 3 4 5 6 7 8
7 2 1 4 3 6 5 8.....7 2 1 4 3 6 5 8.....8 1 2 3 4 5 6 7
5 6 3 4 1 2 7 8.....7 8 1 2 3 4 5 6.....7 8 1 2 3 4 5 6
7 6 5 4 3 2 1 8.....5 8 7 2 1 4 3 6.....6 7 8 1 2 3 4 5
5 6 7 8 1 2 3 4.....5 6 7 8 1 2 3 4.....6 5 4 3 2 1 8 7
3 6 5 8 7 2 1 4.....3 6 5 8 7 2 1 4.....7 6 5 4 3 2 1 8
1 2 7 8 5 6 3 4.....3 4 5 6 7 8 1 2.....8 7 6 5 4 3 2 1
3 2 1 8 7 6 5 4.....1 4 3 6 5 8 7 2.....1 8 7 6 5 4 3 2
sono costruite usando lo stesso metodo. Nella prima, la diagonale maggiore (e tutte le sue parallele) contiene i numeri a, b, c e d ripetuti due volte, con (a+b+c+d)=2*dispari, per cui
Somma diagonale = 2 * 2*dispari = 4 (mod 8 )
Nella seconda e nella terza tabella, la diagonale maggiore (e tutte le sue parallele) contiene i numeri a e b ripetuti quattro volte, con (a+b)=dispari, per cui
Somma diagonale = 4 * dispari = 4 (mod 8 )
La terza tabella è la seconda proposta di Sancho Panza. Ora, nel mio precedente intervento avevo confuso la prima tabella di Sancho con la prima tabella dell'esempio sopra, ma in realtà sono diverse! Quindi ci sono almeno 3 metodi di costruzione, chiedo scusa al saggio scudiero di aver dubitato delle sue capacità e gli chiedo altresì di spiegarci come ha trovato la sua strana soluzione.
1 2 3 4 5 6 7 8.....1 2 3 4 5 6 7 8.....1 2 3 4 5 6 7 8
7 2 1 4 3 6 5 8.....7 2 1 4 3 6 5 8.....8 1 2 3 4 5 6 7
5 6 3 4 1 2 7 8.....7 8 1 2 3 4 5 6.....7 8 1 2 3 4 5 6
7 6 5 4 3 2 1 8.....5 8 7 2 1 4 3 6.....6 7 8 1 2 3 4 5
5 6 7 8 1 2 3 4.....5 6 7 8 1 2 3 4.....6 5 4 3 2 1 8 7
3 6 5 8 7 2 1 4.....3 6 5 8 7 2 1 4.....7 6 5 4 3 2 1 8
1 2 7 8 5 6 3 4.....3 4 5 6 7 8 1 2.....8 7 6 5 4 3 2 1
3 2 1 8 7 6 5 4.....1 4 3 6 5 8 7 2.....1 8 7 6 5 4 3 2
sono costruite usando lo stesso metodo. Nella prima, la diagonale maggiore (e tutte le sue parallele) contiene i numeri a, b, c e d ripetuti due volte, con (a+b+c+d)=2*dispari, per cui
Somma diagonale = 2 * 2*dispari = 4 (mod 8 )
Nella seconda e nella terza tabella, la diagonale maggiore (e tutte le sue parallele) contiene i numeri a e b ripetuti quattro volte, con (a+b)=dispari, per cui
Somma diagonale = 4 * dispari = 4 (mod 8 )
La terza tabella è la seconda proposta di Sancho Panza. Ora, nel mio precedente intervento avevo confuso la prima tabella di Sancho con la prima tabella dell'esempio sopra, ma in realtà sono diverse! Quindi ci sono almeno 3 metodi di costruzione, chiedo scusa al saggio scudiero di aver dubitato delle sue capacità e gli chiedo altresì di spiegarci come ha trovato la sua strana soluzione.
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Sancho Panza
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- Iscritto il: gio ott 12, 2006 9:01 pm
Spiegazione del metodo che ho utilizzato per la mia (strana???) soluzione.
La prima fila contiene i numeri da 1 a 8 in ordine crescente
(Chiamo P(i) l'elemento i-esimo della prima riga)
Dalla 2° riga a metà scacchiera:
Ogni riga successiva è uguale alla precedente traslata ciclicamente di 2 posizioni
In tal modo:
- Tutte le diagonali di tipo \ contengono nelle prime 4 posizioni:
P(i), (P(i) + 3) Mod 8, (P(i) + 6) Mod 8, (P(i) + 9) Mod 8
Somma = (4*P(I) + 18 ) Mod 8 = (4*P(I) + 2) Mod 8
- Tutte le diagonali di tipo / contengono nelle prime 4 posizioni:
P(i), (P(i) - 1) Mod 8, (P(i) - 2) Mod 8, (P(i) - 3) Mod 8
Somma = (4*P(I) - 6) Mod 8 = (4*P(I) + 2) Mod 8
Le ultime 4 righe le riempio per simmetria rispetto al centro della tabella
Di conseguenza:
- Tutte le diagonali di tipo \ contengono nelle ultime 4 posizioni:
(P(i ) + 9) Mod 8, (P(i) + 6) Mod 8, (P(i) + 3) Mod 8, P(i)
Somma = (4*P(I) + 18 ) Mod 8 = (4*P(I) + 2) Mod 8
- Tutte le diagonali di tipo / contengono nelle ultime 4 posizioni:
(P(i) - 3) Mod 8, (P(i) - 2) Mod 8, (P(i) - 1) Mod 8, P(i)
Somma = (4*P(I) - 6) Mod 8 = (4*P(I) + 2) Mod 8
La somma delle diagonali di tipo \ è: (8*P(I) + 4) Mod 8 = 4
La somma delle diagonali di tipo / è: (8*P(I) + 4) Mod 8 = 4
E questa sarebbe già una soluzione valida!!!
Ultimo passaggio:
Per fare in modo che sia rispettata anche la seguente regola aggiuntiva:
Tutte le righe, tutte le colonne e tutte le diagonali devono avere somma uguale a 36 ed inoltre righe e colonne devono avere gli elementi tutti differenti tra loro.
Ho traslato ciclicamente di due posizioni le ultime 4 righe.
(In tal modo anche ruotando di 90° la tabella si ottiene una soluzione valida del problema)
Hasta la vista,
Sancho Panza
La prima fila contiene i numeri da 1 a 8 in ordine crescente
(Chiamo P(i) l'elemento i-esimo della prima riga)
Dalla 2° riga a metà scacchiera:
Ogni riga successiva è uguale alla precedente traslata ciclicamente di 2 posizioni
In tal modo:
- Tutte le diagonali di tipo \ contengono nelle prime 4 posizioni:
P(i), (P(i) + 3) Mod 8, (P(i) + 6) Mod 8, (P(i) + 9) Mod 8
Somma = (4*P(I) + 18 ) Mod 8 = (4*P(I) + 2) Mod 8
- Tutte le diagonali di tipo / contengono nelle prime 4 posizioni:
P(i), (P(i) - 1) Mod 8, (P(i) - 2) Mod 8, (P(i) - 3) Mod 8
Somma = (4*P(I) - 6) Mod 8 = (4*P(I) + 2) Mod 8
Le ultime 4 righe le riempio per simmetria rispetto al centro della tabella
Di conseguenza:
- Tutte le diagonali di tipo \ contengono nelle ultime 4 posizioni:
(P(i ) + 9) Mod 8, (P(i) + 6) Mod 8, (P(i) + 3) Mod 8, P(i)
Somma = (4*P(I) + 18 ) Mod 8 = (4*P(I) + 2) Mod 8
- Tutte le diagonali di tipo / contengono nelle ultime 4 posizioni:
(P(i) - 3) Mod 8, (P(i) - 2) Mod 8, (P(i) - 1) Mod 8, P(i)
Somma = (4*P(I) - 6) Mod 8 = (4*P(I) + 2) Mod 8
La somma delle diagonali di tipo \ è: (8*P(I) + 4) Mod 8 = 4
La somma delle diagonali di tipo / è: (8*P(I) + 4) Mod 8 = 4
E questa sarebbe già una soluzione valida!!!
Ultimo passaggio:
Per fare in modo che sia rispettata anche la seguente regola aggiuntiva:
Tutte le righe, tutte le colonne e tutte le diagonali devono avere somma uguale a 36 ed inoltre righe e colonne devono avere gli elementi tutti differenti tra loro.
Ho traslato ciclicamente di due posizioni le ultime 4 righe.
(In tal modo anche ruotando di 90° la tabella si ottiene una soluzione valida del problema)
Hasta la vista,
Sancho Panza
Ho usato strana come avrei potuto usare insolita, peculiare, comunque non come giudizio buono/cattivo, semplicemente perché mi aveva colpito per le sue caratteristiche, per la sua somiglianza col gruppo C2 x C2 x C2, ma soprattutto per il fatto che la struttura delle diagonali di tipo / fosse uguale a quella delle diagonali di tipo \.Sancho Panza ha scritto:Spiegazione del metodo che ho utilizzato per la mia (strana???) soluzione.
Adesso mi studierò con calma il tuo metodo.
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Sancho Panza
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1 2 3 4 5 6 7 8giobimbo ha scritto: Costruire la tabella con questa sola regola:
Non ci possono essere due righe di cui una è ottenuta dall'altra tramite spostamento di k posti, per k = 1, 2, ..., 7, 8.
5 2 3 4 1 6 7 8
5 6 3 4 1 2 7 8
5 6 7 4 1 2 3 8
8 3 2 1 4 7 6 5
8 7 2 1 4 3 6 5
8 7 6 1 4 3 2 5
8 7 6 5 4 3 2 1
