Scopri il triangolo

[Maurizio59]

Un triangolo è coperto da due triangoli equilateri di lato 1. Trova l'area massima del triangolo nei seguenti due casi:

1) I due triangoli equilateri non sono sovrapponibili. (facile)

2) I due triangoli equilateri sono sovrapponibili. (meno facile)

[Gianfranco]

2) I due triangoli equilateri sono sovrapponibili. (meno facile)[/size]

Una prima risposta basata solo su qualche prova con Geogebra.
Per ora nessuna dimostrazione.

triangolo_max1.jpg (14.68 KiB) Visto 1453 volte

[Gianfranco]

Nell'ipotesi che il triangolo di area massima si ottenga quando i triangoli equilateri sono incernierati in un vertice comune...

triangolo_max2.jpg (18.66 KiB) Visto 1394 volte

Il lato dei triangoli equilateri misura 1.
L'area del triangolo BDC è:
$A=\dfrac{sin(\alpha)}{2}$
Il massimo si ha per:
$\alpha=\dfrac{\pi}{2}$

$A=\dfrac{1}{2}$

Sospetto che Maurizio abbia una soluzione migliore...

[Maurizio59]

Nell'ipotesi che il triangolo di area massima si ottenga quando i triangoli equilateri sono incernierati in un vertice comune...

Questa ipotesi è sbagliata.
Sotto questo vincolo, come da te dimostrato, il triangolo di area massima è il triangolo rettangolo isoscele di cateti di lunghezza 1 e area 1/2.

Sospetto che Maurizio abbia una soluzione migliore...

Già.

[Gianfranco]

Già.

Questa impostazione è sulla strada giusta?

triangolo_max3.jpg (11.62 KiB) Visto 1313 volte

[Maurizio59]

Questa impostazione è sulla strada giusta?
...

Bene Gianfranco.
Quella è la strada giusta.

[Gianfranco]

Questo è il massimo che sono riuscito a ottenere, su quella strada.
Il punto D scorre sul lato CB.
Il raggio della circonferenza vale 1.
Algebricamente è un po' complicato...

triangolo_max3.png (75.97 KiB) Visto 1104 volte

[Maurizio59]

Il risultato è corretto.

...
Algebricamente è un po' complicato...

Si può usare il piano cartesiano oppure un procedimento esclusivamente geometrico.
Riferendomi alla tua figura indico con x il segmento DG (0 < x < 1). Sfruttando alcune semplici proprietà geometriche trovo l'area del triangolo GAE in funzione di x:
$$A = \frac {\sqrt3(1-x)(1+2x)(1+x)^3} {4(1+x+x^2)^2}$$ Il valore massimo di questa funzione si ha quando la variabile x annulla la sua derivata prima. Deve perciò verificarsi la seguente condizione:
$$x^4+x^3+6x^2+2x-1=0$$ L'unica soluzione reale positiva di questa equazione di quarto grado è un valore esatto molto complicato (con radici quadrate e cubiche) il cui valore approssimato è x = 0.2695668...
Inserendo questo risultato nella formula dell'area del triangolo si ottiene l'area massima da te trovata.

Ora manca la soluzione del primo quesito.

[Gianfranco]

Si può usare il piano cartesiano oppure un procedimento esclusivamente geometrico.

Grazie di cuore per la soluzione algebrica.
Avevo iniziato a risolvere usando il piano cartesiano, ma a un certo punto le equazioni diventavano troppo complicate e ho abbandonato.

[Gianfranco]

Se i due triangoli non sono sovrapponibili allora possono solo scorrere lungo un lato comune.
Il punto C scorre su AB.

triangolo_max4.png (41.36 KiB) Visto 880 volte

[Maurizio59]

La figura e il risultato sono corretti.
Il valore esatto dell'area è: $$A_{max} = \frac8{9\sqrt3}=0.5132...$$ Essa si ottiene per AC = 1/3 e la soluzione stavolta è algebricamente molto semplice.