Conversazione a tre

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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franco
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Conversazione a tre

Messaggio da franco »

Roberto il ragno e Federica la formica sono rispetivamente ai piedi di una robinia R e di un frassino F distanti 36 metri.
Camilla la coccinella, poggiata al suolo a metà strada fra loro due, vede le cime dei due alberi sotto un angolo retto.
I tre fanno la seguente conversazione:
Camilla: « le altezze Hr della robinia e Hf del frassino si esprimono in un numero intero di metri e Hr < 5Hf »
Roberto : « io vedo il frassino dal piede alla sommità sotto un angolo α ».
Federica : « io vedo la robinia dal piede alla sommità sotto un angolo che è un multiplo intero di α ».

Caro basecinquino che hai ascoltato la conversazione, determina l'altezza dei due alberi dimostrando che la soluzione è unica.

www.diophante.fr
A4976

Arachné l’araignée et Formica la fourmi sont respectivement au pied d’un acacia A et d’un frêne F distants de 36 mètres.
Coccinella la coccinelle, située au sol à mi-distance entre ses deux comparses, voit les sommets des deux arbres sous un angle droit.
Elles engagent la conversation suivante :
Coccinella : « les hauteurs respectives ha et hf de l’acacia et du frêne s’expriment en nombres entiers de mètres et ha < 5hf ».
Arachné : « je vois le frêne de son pied jusqu’au sommet sous un angle α ».
Formica : « de la même manière je vois l’acacia sous un angle qui est un multiple entier de l’angle α ».
Cher lecteur, déterminer les hauteurs des deux arbres en prouvant que la solution est unique.
Franco

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Quelo
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Re: Conversazione a tre

Messaggio da Quelo »

Ecco la mia soluzione:

La distanza tra le due cime può essere espressa in due modi, sia in funzione del triangolo che ha per cateti 36 e Hr-Hf, sia di quello che ha per cateti le distanze di C dalle cime

$\displaystyle \sqrt{(H_r-H_f)^2+36^2}=\sqrt{H_r^2+18^2+H_f^2+18^2}$

Risolvendo:

$\displaystyle H_rH_f = 18^2$

Le uniche scomposizioni di 324 in cui $ H_f<H_r<5H_f$ sono
1) 9, 36
2) 12, 27

Calcolando gli angoli si vede che l'unica soluzione in cui $\beta=k\alpha$ è la seconda

$\displaystyle \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{36}{\sqrt{36^2+12^2}}\right)=0,32175 \; (18,43495°)$
$\displaystyle \beta=\cos^{-1}\left(\frac{36}{\sqrt{36^2+27^2}}\right)=0,6435 \; (36,6899°)$
Ultima modifica di Quelo il mar gen 20, 2026 8:41 pm, modificato 2 volte in totale.
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marcoggz
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Re: Conversazione a tre

Messaggio da marcoggz »

La soluzione più banale Hr=Hf=18m è accettabile?

Quelo
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Re: Conversazione a tre

Messaggio da Quelo »

La terza condizione dovrebbe implicare che il secondo angolo è meggiore del primo e di conseguenza le altezze sono diverese.

Tra l'altro, per quanto ho potuto verificare, la soluzione si può ricavare anche se non si conosce la poszione di Camilla
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franco
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Re: Conversazione a tre

Messaggio da franco »

marcoggz ha scritto:
lun gen 19, 2026 11:30 am
La soluzione più banale Hr=Hf=18m è accettabile?
in effetti non so se, dal punto di vista matematico possiamo parlare di "multiplo intero" quando il rapporto fra i due angoli è pari a 1 ... però è una considerazione interessante!
Franco

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