Roberto il ragno e Federica la formica sono rispetivamente ai piedi di una robinia R e di un frassino F distanti 36 metri.
Camilla la coccinella, poggiata al suolo a metà strada fra loro due, vede le cime dei due alberi sotto un angolo retto.
I tre fanno la seguente conversazione:
Camilla: « le altezze Hr della robinia e Hf del frassino si esprimono in un numero intero di metri e Hr < 5Hf »
Roberto : « io vedo il frassino dal piede alla sommità sotto un angolo α ».
Federica : « io vedo la robinia dal piede alla sommità sotto un angolo che è un multiplo intero di α ».
Caro basecinquino che hai ascoltato la conversazione, determina l'altezza dei due alberi dimostrando che la soluzione è unica.
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A4976
Arachné l’araignée et Formica la fourmi sont respectivement au pied d’un acacia A et d’un frêne F distants de 36 mètres.
Coccinella la coccinelle, située au sol à mi-distance entre ses deux comparses, voit les sommets des deux arbres sous un angle droit.
Elles engagent la conversation suivante :
Coccinella : « les hauteurs respectives ha et hf de l’acacia et du frêne s’expriment en nombres entiers de mètres et ha < 5hf ».
Arachné : « je vois le frêne de son pied jusqu’au sommet sous un angle α ».
Formica : « de la même manière je vois l’acacia sous un angle qui est un multiple entier de l’angle α ».
Cher lecteur, déterminer les hauteurs des deux arbres en prouvant que la solution est unique.
Conversazione a tre
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Conversazione a tre
Franco
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Re: Conversazione a tre
Ecco la mia soluzione:
La distanza tra le due cime può essere espressa in due modi, sia in funzione del triangolo che ha per cateti 36 e Hr-Hf, sia di quello che ha per cateti le distanze di C dalle cime
$\displaystyle \sqrt{(H_r-H_f)^2+36^2}=\sqrt{H_r^2+18^2+H_f^2+18^2}$
Risolvendo:
$\displaystyle H_rH_f = 18^2$
Le uniche scomposizioni di 324 in cui $ H_f<H_r<5H_f$ sono
1) 9, 36
2) 12, 27
Calcolando gli angoli si vede che l'unica soluzione in cui $\beta=k\alpha$ è la seconda
$\displaystyle \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{36}{\sqrt{36^2+12^2}}\right)=0,32175 \; (18,43495°)$
$\displaystyle \beta=\cos^{-1}\left(\frac{36}{\sqrt{36^2+27^2}}\right)=0,6435 \; (36,6899°)$
La distanza tra le due cime può essere espressa in due modi, sia in funzione del triangolo che ha per cateti 36 e Hr-Hf, sia di quello che ha per cateti le distanze di C dalle cime
$\displaystyle \sqrt{(H_r-H_f)^2+36^2}=\sqrt{H_r^2+18^2+H_f^2+18^2}$
Risolvendo:
$\displaystyle H_rH_f = 18^2$
Le uniche scomposizioni di 324 in cui $ H_f<H_r<5H_f$ sono
1) 9, 36
2) 12, 27
Calcolando gli angoli si vede che l'unica soluzione in cui $\beta=k\alpha$ è la seconda
$\displaystyle \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{36}{\sqrt{36^2+12^2}}\right)=0,32175 \; (18,43495°)$
$\displaystyle \beta=\cos^{-1}\left(\frac{36}{\sqrt{36^2+27^2}}\right)=0,6435 \; (36,6899°)$
Ultima modifica di Quelo il mar gen 20, 2026 8:41 pm, modificato 2 volte in totale.
[Sergio] / $17$
Re: Conversazione a tre
La soluzione più banale Hr=Hf=18m è accettabile?
Re: Conversazione a tre
La terza condizione dovrebbe implicare che il secondo angolo è meggiore del primo e di conseguenza le altezze sono diverese.
Tra l'altro, per quanto ho potuto verificare, la soluzione si può ricavare anche se non si conosce la poszione di Camilla
Tra l'altro, per quanto ho potuto verificare, la soluzione si può ricavare anche se non si conosce la poszione di Camilla
[Sergio] / $17$
Re: Conversazione a tre
in effetti non so se, dal punto di vista matematico possiamo parlare di "multiplo intero" quando il rapporto fra i due angoli è pari a 1 ... però è una considerazione interessante!
Franco
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