Cerchi in un poligono

[Quelo]

Partendo dal quesito dei "cerchi in un quadrato"

--> https://www.base5forum.it/viewtopic.php?p=364#364
--> http://utenti.quipo.it/base5/geopiana/c ... adrato.htm
--> https://www.base5forum.it/viewtopic.php?t=908

Ricavare una formula generale per un poligono regolare di n lati.

A titolo d'esempio riporto i valori dell'area dei cerchi per alcuni poligoni:

Triangolo: 0.3599741582
Quadrato: 0.8806829384
Pentagono: 1.5717309
Decagono: 7.486242966
Icosagono: 31.33271100
100 lati: 795.2560051
1000 lati: 79574.22419

[antonio]

Salve!
Mi ricordo del quesito di qualche anno fa.
Mi ricordo che all'epoca feci qualche calcolo inerente la questione, in formato testo. Poiché è troppo lungo per tradurlo in Latex, lo riporo in pdf all'indirizzo seguente:
http://digilander.libero.it/antoniopall ... ligono.pdf
Il tutto, s.e. & o.
Antonio

[Quelo]

Molto bene. Ottima la tua soluzione, anche molto elegante.

[0-§]

E ora l'angolo della generalizzazione insulsa, a cura di 0-§...
Facendo riferimento ai termini e ai calcoli di Antonio, a me viene una formula per $\displaystyle A_T$ (la somma di tutti i primi T-esimi gruppi di n cerchi più il cerchio centrale) pari a$\displaystyle \large \pi {r_0}^2 \left[1+nm\frac{m^T-1}{m-1}\right]$, dove $\displaystyle {r_0}$ è il raggio del cerchio maggiore, pari a $\displaystyle \large \frac {1}{2 tan(\frac{\pi}{n})}$, e m è uguale a $\displaystyle \large f^2=\left(\frac {1-cos{\frac {\pi}{n}}}{1+cos{\frac {\pi}{n}}}\right)^2$.
Ha un qualche senso come cosa?

Avendo come sempre molto tempo libero ho anche cercato di fare qualche bel grafico a partire dalle formule di Antonio, a domani per i risultati.
Salumi!
Zerinf

P.S. E' possibile fare sì che $\displaystyle {r_0}^2$ venga visualizzato con l'indice 2 proprio sopra il pedice 0 o è proprio necessario lasciarlo così brutto?

[Quelo]

P.S. E' possibile fare sì che $\displaystyle {r_0}^2$ venga visualizzato con l'indice 2 proprio sopra il pedice 0 o è proprio necessario lasciarlo così brutto?

Certo che si può: (tex) r_0^2 (/tex)

Però viene così: $r_0^2$ (decismente meglio l'altro)

A meno di non fare così: (tex) r_{\tiny 0}^2 (/tex) $\to r_{\tiny 0}^2$ (sempre meglio l'altro a mio avviso)

[Daniela]

Che spreco di spazio!!! Nessuno ha scritto, ad es per il quadrato, un programmino che inscrive dei cerchi anche nelle lunule che questo procedimento lascia indisturbate? NOn e' interessante il limite dell'area che sara' l'area del poligono, ma la distribuzione dei raggi dei cerchi.... Uno di raggio max. Quattro di raggio piu' piccolo. Poi entrano in gioco le lunule!

[panurgo]

Che spreco di spazio!!! Nessuno ha scritto, ad es per il quadrato, un programmino che inscrive dei cerchi anche nelle lunule che questo procedimento lascia indisturbate? NOn e' interessante il limite dell'area che sara' l'area del poligono, ma la distribuzione dei raggi dei cerchi.... Uno di raggio max. Quattro di raggio piu' piccolo. Poi entrano in gioco le lunule!

Se ho ben capito la proposta di Daniela dovremmo studiare questo



Considerando per semplicità un quadrato di lato $2$, abbiamo che il raggio del cerchio grande è $r_0 \/ = \/ 1$, mentre il raggio del primo cerchio (nell'angolo) è $3 \/ - \/ \sqrt{8}$; il modo più semplice di trovare i raggi dei cerchi successivi è mediante l'uso iterativo della formula di Soddy (in realtà, di Cartesio)

$\left ( \frac 1 a \/ + \/ \frac 1 b \/ + \/ \frac 1 c \/ + \/ \frac 1 d \right )^{\script 2} \/ = \/ 2 \/ \left ( \frac 1 {a^{\script 2}} \/ + \/ \frac 1 {b^{\script 2}} \/ + \/ \frac 1 {c^{\script 2}} \/ + \/ \frac 1 {d^{\script 2}} \right )$

dove $a$ e $b \/ \leq \/ c \/ \leq \/ d$ sono i raggi di quattro cerchi mutuamente tangenti: risolvendo (un'equazione di secondo grado) rispetto ad $a$ otteniamo

$a \/ = \/ \frac {bcd} {bc + bd + cd + 2 \sqrt{bcd \left (b + c + d \right )}}$

Questa soluzione corrisponde ad un cerchio interno agli altri tre mentre l'altra

$a \/ = \/ \frac {bcd} {bc + bd + cd - 2 \sqrt{bcd \left (b + c + d \right )}}$

corrisponde ad un cerchio esterno.
Nel nostro caso, il quarto cerchio è una retta con $1/d \/ = \/ 0$ e la formula si semplifica

$a \/ = \/ \frac {bc} {b + c + 2 \sqrt {bc}}$

per cui abbiamo la formula ricorsiva

$\left \{ r_{\script 1+1} \/ = \/ \frac {r_{\script 0} r_{\script i}} { r_{\script 0} + r_{\script i} + 2 \sqrt{ r_{\script 0} r_{\script i}}} \\ r_{\script 0} \/ = \/ 1, \, r_{\script 1} \/ = \/ 3 \/ -\/ \sqrt{8} \right .$

Per chi è interessato, la frazione di area coperta dai cerchi è circa $0,9607668 \ldots$
Altre menti più abili troveranno una forma chiusa

[Ivana]

Per semplice associazione di idee, data la reticolarità del nostro pensiero, vedendo dei "cerchi inscritti" a me è venuto in mente il "setaccio di Apollonio" :
http://www.maecla.it/frattali/apollonio/apollonio.htm" onclick="window.open(this.href);return false;