Teorema di Fary, un esempio

[giobimbo]

Un classico gioco con carta e matita (anzi, matite colorate) ideale per smaltire i pranzetti fatti in questo periodo pieno di festività.
Abbiamo 24 punti nel piano e ad ogni punto è associata una permutazione dell’insieme {1, 2, 3, 4}, permutazioni diverse per ogni punto. Per permutazione s’intende il punto ad essa associato e viceversa, parlando di punti si intende la permutazione ad essi associata. Per semplicità invece di (a, b, c, d) scriveremo abcd.
Colleghiamo il punto abcd al punto bacd con un segmento giallo, colleghiamo il punto abcd al punto acbd con un segmento blu, colleghiamo il punto abcd al punto abdc con un segmento rosso. Le altre regole da seguire dicono che due segmenti qualsiasi non si incrociano mai e sopra un punto non passa mai un segmento.

Problema: disegnare la figura ottenuta rispettando queste condizioni.

[giobimbo]

La figura che si ottiene è la proiezione sul piano di un solido che Wikipedia chiama ottaedro troncato, un poliedro con 14 facce, 24 vertici e 36 spigoli. Un grafo planare, essendo un diagramma di Schlegel. Inoltre è semplice perché una qualsiasi coppia di punti è unita al massimo da una linea (uno spigolo, un segmento), quindi per essa vale il teorema di Fary.
In combinatoria ha il poetico nome di 4-Permutaedro.

[giobimbo]

Abbiamo 6 punti nel piano e ad ogni punto è associata una permutazione dell’insieme {1, 2, 3}, permutazioni diverse per ogni punto.
Colleghiamo il punto abc al punto bac con un segmento giallo, colleghiamo il punto abc al punto acb con un segmento blu, colleghiamo il punto abc al punto cba con un segmento rosso. Le altre regole da seguire dicono che due segmenti qualsiasi non si incrociano mai e sopra un punto non passa mai un segmento. Otteniamo il disegno sotto, un 3-Permutaedro, esempio banale del teorema di Fary.

esempio banale.png (7.02 KiB) Visto 373 volte

Ovviamente la figura-soluzione richiesta dal Problema è più complicata…