Bene, bene: a questo punto, per rendere la discussione più interessante per me e per i visitatori silenti, non disdegnerei un'esposizione più accessibile del grande Giobimbo sui suoi grafi (non ho capito nemmeno se è un riepilogo o lo strumento per giungere alle soluzioni), nonché di conoscere il procedimento adottato dall'altrettanto grande Sancho per le sue soluzioni, positive o negative che siano (33, 30 e 28 ).
Grazie
Girotondo numerico alla Flavio Giuseppe
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
A grande richiesta cercherò di spiegare le cose in modo diverso, usando n=15, di cui Pasquale ha trovato una soluzione per cui gli sarà più facile seguire i ragionamenti.
Nella figura sotto, a sinistra, il tavoliere del solitario di Dario Uri: 15 caselle circolari sono poste lungo un percorso altrettanto circolare, su ogni casella si metterà un gettone numerato, coi numeri da 1 a 15, come a formare il quadrante di un orologio.
Nella figura sotto, a destra, il tavoliere del solitario di giobimbo: 15 caselle circolari sono poste lungo un percorso a spina di pesce, le caselle sono numerate e colorate, su quelle blu si metterà un gettone.
Scopo del gioco per ambedue i solitari è il rimanere con un solo gettone (numerato o no) dopo 14 mosse. Ebbene, ogni soluzione del solitario di destra è anche una soluzione del solitario di sinistra, ma col mio tavoliere essa è più facile da trovare (credo, dopotutto i gettoni sanno da dove partire e dove arrivare, ogni gettone fa sempre solo un passo e sempre in linea retta...).
Quindi il mio tavoliere è uno strumento per trovare le soluzioni, ricordo solo che ce ne sono 4, quello in figura in cui i percorsi che arrivano a 15 sono:
3-6-9-12-15, 10-5-15
più altri tre:
3-6-9-12-15, 5-10-15
12-9-6-3-15, 10-5-15
12-9-6-3-15, 5-10-15
mentre le strade laterali che giungono alle caselle 6 e 9 sono le stesse.
Passiamo alla seconda domanda di Pasquale, come costruire il tavoliere, il grafo ad albero orientato (a rigore nei grafi orientati ci dovrebbero essere le frecce che indicano la direzione, ma avendo indicato partenza e arrivo si capisce lo stesso), a partire dal tavoliere circolare di sinistra.
Analizzando il gioco si vede che il gettone 15 non si muove mai perché finirebbe nella casella da cui è partito, cosa inutile, quindi qualche altro gettone col numero x finirà su di esso, il che implica che x dev'essere divisore modulare di 15. Supponiamo d'avere scelto x=3, ovvio, e x=10 perché 3*10 mod 15 = 0 = 15. Il gettone 3 una volta mangiato il 15 non può più proseguire perché finirebbe nella casella vuota da dove era partito, lo stesso per il 10, quindi ambedue terminano il viaggio nella casella dov'era il 15 e il secondo che arriva mangia il primo che ci era arrivato. Che movimenti farà il gettone 3? Parte da p(3) e mangia i gettoni che stavano in p(6), p(9), p(12) e p(15), rispettivamente: ecco da dove viene il percorso rettilineo 3-6-9-12-15. Il gettone 10 parte da p(10), mangia il gettone in p(20)=p(5) e poi quello in p(15): ed ecco il percorso 10-5-15; questi due sono obbligatori, servono per far sparire il gettone col numero 15. Come trovare le altre strade della figura a destra?
Ci mancano i numeri che non dividono esattamente 15; quali percorsi seguirebbero tali numeri lo vedremo scrivendo il numero i della loro posizione p(i) mossa dopo mossa:
1-2-3
2-4-6
4-8-12
7-14-6
8-1-9
11-7-3
13-11-9
14-13-12
Come si vede, quando un gettone finisce in una posizione p(r) in cui r è multiplo di 3 deve fermarsi, altrimenti quando il gettone 3 arriva in p(r) trova il posto vuoto, non mangia niente, quindi occorrerebbero più di 14 mosse per finire il solitario. Esaminiamo gli otto percorsi appena trovati.
1-2-3. Questo percorso è proibito perché il gettone 1 mangia il 3, ma il 3 non può sparire perché deve raggiungere p(15). Ma se il gettone 1 non può muoversi, qualcun altro deve passare per p(1) da cui ricaviamo:
8-1-9 obbligatorio.
Ancora da 1-2-3: se il gettone 1 non va in p(2) qualcun altro deve passarci oppure il gettone 2 deve partire, ne ricaviamo:
2-4-6 obbligatorio.
Abbiamo scartato il primo percorso e scelto il secondo, e il terzo?
4-8-12 proibito perché 2-4-6 significa che il gettone 2 passa in p(4) e mangia il gettone che c'è, quindi il gettone 4 non può partire. In questo modo ricaviamo ancora:
7-14-6 obbligatorio,
13-11-9 obbligatorio, col che termina la costruzione del tavoliere/grafo.
Concludo applicando la soluzione di Pasquale al tavoliere di destra. Notare come i numeri a lato, quelli che si spostano siano quelli delle caselle blu.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 - 02 Il gettone sulla casella 2 va sulla casella 4
01 00 03 02 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 - 07 Il gettone sulla casella 7 va sulla casella 14
01 00 03 02 05 06 00 08 09 10 11 12 13 07 15 - 02 Il gettone sulla 4 va sulla 6 e non si muove più, deve lasciar passare il 3 e farsi mangiare!
01 00 03 00 05 02 00 08 09 10 11 12 13 07 15 - 13 ...
01 00 03 00 05 02 00 08 09 10 13 12 00 07 15 - 08
08 00 03 00 05 02 00 00 09 10 13 12 00 07 15 - 07
08 00 03 00 05 07 00 00 09 10 13 12 00 00 15 - 13
08 00 03 00 05 07 00 00 13 10 00 12 00 00 15 - 03
08 00 00 00 05 03 00 00 13 10 00 12 00 00 15 - 08
00 00 00 00 05 03 00 00 08 10 00 12 00 00 15 - 03
00 00 00 00 05 00 00 00 03 10 00 12 00 00 15 - 10
00 00 00 00 10 00 00 00 03 00 00 12 00 00 15 - 03
00 00 00 00 10 00 00 00 00 00 00 03 00 00 15 - 10
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 03 00 00 10 - 03 ...
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 03 Ultima mossa, un gettone partito da una casella il cui numero è un divisore di 15 arriva sul 15.
Vince la corsa Flavio Giuseppe.
Nella figura sotto, a sinistra, il tavoliere del solitario di Dario Uri: 15 caselle circolari sono poste lungo un percorso altrettanto circolare, su ogni casella si metterà un gettone numerato, coi numeri da 1 a 15, come a formare il quadrante di un orologio.
Nella figura sotto, a destra, il tavoliere del solitario di giobimbo: 15 caselle circolari sono poste lungo un percorso a spina di pesce, le caselle sono numerate e colorate, su quelle blu si metterà un gettone.
Scopo del gioco per ambedue i solitari è il rimanere con un solo gettone (numerato o no) dopo 14 mosse. Ebbene, ogni soluzione del solitario di destra è anche una soluzione del solitario di sinistra, ma col mio tavoliere essa è più facile da trovare (credo, dopotutto i gettoni sanno da dove partire e dove arrivare, ogni gettone fa sempre solo un passo e sempre in linea retta...).
Quindi il mio tavoliere è uno strumento per trovare le soluzioni, ricordo solo che ce ne sono 4, quello in figura in cui i percorsi che arrivano a 15 sono:
3-6-9-12-15, 10-5-15
più altri tre:
3-6-9-12-15, 5-10-15
12-9-6-3-15, 10-5-15
12-9-6-3-15, 5-10-15
mentre le strade laterali che giungono alle caselle 6 e 9 sono le stesse.
Passiamo alla seconda domanda di Pasquale, come costruire il tavoliere, il grafo ad albero orientato (a rigore nei grafi orientati ci dovrebbero essere le frecce che indicano la direzione, ma avendo indicato partenza e arrivo si capisce lo stesso), a partire dal tavoliere circolare di sinistra.
Analizzando il gioco si vede che il gettone 15 non si muove mai perché finirebbe nella casella da cui è partito, cosa inutile, quindi qualche altro gettone col numero x finirà su di esso, il che implica che x dev'essere divisore modulare di 15. Supponiamo d'avere scelto x=3, ovvio, e x=10 perché 3*10 mod 15 = 0 = 15. Il gettone 3 una volta mangiato il 15 non può più proseguire perché finirebbe nella casella vuota da dove era partito, lo stesso per il 10, quindi ambedue terminano il viaggio nella casella dov'era il 15 e il secondo che arriva mangia il primo che ci era arrivato. Che movimenti farà il gettone 3? Parte da p(3) e mangia i gettoni che stavano in p(6), p(9), p(12) e p(15), rispettivamente: ecco da dove viene il percorso rettilineo 3-6-9-12-15. Il gettone 10 parte da p(10), mangia il gettone in p(20)=p(5) e poi quello in p(15): ed ecco il percorso 10-5-15; questi due sono obbligatori, servono per far sparire il gettone col numero 15. Come trovare le altre strade della figura a destra?
Ci mancano i numeri che non dividono esattamente 15; quali percorsi seguirebbero tali numeri lo vedremo scrivendo il numero i della loro posizione p(i) mossa dopo mossa:
1-2-3
2-4-6
4-8-12
7-14-6
8-1-9
11-7-3
13-11-9
14-13-12
Come si vede, quando un gettone finisce in una posizione p(r) in cui r è multiplo di 3 deve fermarsi, altrimenti quando il gettone 3 arriva in p(r) trova il posto vuoto, non mangia niente, quindi occorrerebbero più di 14 mosse per finire il solitario. Esaminiamo gli otto percorsi appena trovati.
1-2-3. Questo percorso è proibito perché il gettone 1 mangia il 3, ma il 3 non può sparire perché deve raggiungere p(15). Ma se il gettone 1 non può muoversi, qualcun altro deve passare per p(1) da cui ricaviamo:
8-1-9 obbligatorio.
Ancora da 1-2-3: se il gettone 1 non va in p(2) qualcun altro deve passarci oppure il gettone 2 deve partire, ne ricaviamo:
2-4-6 obbligatorio.
Abbiamo scartato il primo percorso e scelto il secondo, e il terzo?
4-8-12 proibito perché 2-4-6 significa che il gettone 2 passa in p(4) e mangia il gettone che c'è, quindi il gettone 4 non può partire. In questo modo ricaviamo ancora:
7-14-6 obbligatorio,
13-11-9 obbligatorio, col che termina la costruzione del tavoliere/grafo.
Concludo applicando la soluzione di Pasquale al tavoliere di destra. Notare come i numeri a lato, quelli che si spostano siano quelli delle caselle blu.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 - 02 Il gettone sulla casella 2 va sulla casella 4
01 00 03 02 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 - 07 Il gettone sulla casella 7 va sulla casella 14
01 00 03 02 05 06 00 08 09 10 11 12 13 07 15 - 02 Il gettone sulla 4 va sulla 6 e non si muove più, deve lasciar passare il 3 e farsi mangiare!
01 00 03 00 05 02 00 08 09 10 11 12 13 07 15 - 13 ...
01 00 03 00 05 02 00 08 09 10 13 12 00 07 15 - 08
08 00 03 00 05 02 00 00 09 10 13 12 00 07 15 - 07
08 00 03 00 05 07 00 00 09 10 13 12 00 00 15 - 13
08 00 03 00 05 07 00 00 13 10 00 12 00 00 15 - 03
08 00 00 00 05 03 00 00 13 10 00 12 00 00 15 - 08
00 00 00 00 05 03 00 00 08 10 00 12 00 00 15 - 03
00 00 00 00 05 00 00 00 03 10 00 12 00 00 15 - 10
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Vince la corsa Flavio Giuseppe.
- Allegati
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- solitario-di-Pasquale.gif (7.79 KiB) Visto 2654 volte
Di ritorno al Forum dopo alcune disavventure tecnologiche (sabato il mio fornitore mi ha tolto a sorpresa l'ADSL, lunedì il telefono era muto causa mancanza di segnale di linea), ieri sera leggendo l'ultimo intervento di Pasquale, le sue parole mi sembravano appropriate alla chiusura dell'argomento. Purtroppo, invece, riflettendo sulla mia spiegazione mi sono accorto che mi era sfuggito qualcosa.
Premetto che nello studiare la soluzione son sempre partito dai divisori di n, che nell'esempio n=15 sono quindi 3 e 5, costruivo il percorso principale col divisore più piccolo e il percorso secondario con l'altro. Poi, siccome il cerchio si può percorrere in due sensi avevo i percorsi duali a cui mi riferivo mentalmente come il "complemento a 15", da cui i due percorsi duali:
3 - 6 - 9 - 12 - 15 e
(15-3) - (15-6) - (15-9) - (15-12) - (15-15) ovvero
12 - 9 - 6 - 3 - 15.
Scrivendo per Pasquale ho usato il termine "divisore modulare" che mi sembrava più descrittivo; bene, ma anche 6 e 9 sono divisori modulari di 15! Dunque esistono altri quattro tavolieri, di cui uno ha i percorsi:
6-12-3-9-15
5-10-15
e come strade laterali:
1-2-3
4-8-12
11-7-3
14-13-12.
Premetto che nello studiare la soluzione son sempre partito dai divisori di n, che nell'esempio n=15 sono quindi 3 e 5, costruivo il percorso principale col divisore più piccolo e il percorso secondario con l'altro. Poi, siccome il cerchio si può percorrere in due sensi avevo i percorsi duali a cui mi riferivo mentalmente come il "complemento a 15", da cui i due percorsi duali:
3 - 6 - 9 - 12 - 15 e
(15-3) - (15-6) - (15-9) - (15-12) - (15-15) ovvero
12 - 9 - 6 - 3 - 15.
Scrivendo per Pasquale ho usato il termine "divisore modulare" che mi sembrava più descrittivo; bene, ma anche 6 e 9 sono divisori modulari di 15! Dunque esistono altri quattro tavolieri, di cui uno ha i percorsi:
6-12-3-9-15
5-10-15
e come strade laterali:
1-2-3
4-8-12
11-7-3
14-13-12.