Montagne russe

[Pasquale]

Vedo l'intervento di Franco e in aggiunta alle aggiunte che ho fatto in calce al mio precedente intervento, devo dire che mi si verifica un fatto strano, simile al suo, nel calcolo, o tentativo di calcolo, dell'integrale di Panurgo.

A questo punto però, per esser certo di non aver preso una cantonata, devo chiedere dei lumi ai possessori della conoscenza matematica:

il risultato di un integrale definito di funzione continua in un certo intervallo non corrisponde per caso all'area racchiusa fra la curva rappresentata dalla funzione e l'asse delle ascisse?

Se così fosse, perché aumenta a dismisura il risultato, man mano che integro, facendo la somma dei rettangolini in cui suddivido la superficie, cioè man mano che diminuisco le dimensioni dei rettangolini (spero di essere stato chiaro) ?
E' vero che integrando è giusto che i valori debbano cambiare man, mano, ma si dovrebbe notare una convergenza che non ho notato.
Qual è il mio errore concettuale?
Ho poi effettuato un esperimento pratico, senza vuoto e con attriti, lasciando cadere un grave da 2 metri, ed il tempo impiegato è inferiore al secondo: va bene che non avevo a disposizione la sinusoide che mi avrebbe aumentato il tempo, specie alla partenza, ma non avrebbe mai raggiunto valori sui 28 secondi, ottenuti sommando 10^8 rettangolini.

[franco]

Ho provato a lavorare sull'integrale di Panurgo.

In genere uso come metodo numerico di risoluzione degli integrali quello della somma dei trapezi sottesi alla spezzata che approsima la curva data.
Naturalmente questo sistema funziona se gli estremi di tutti gli intervalli sono definiti, il che non è per la funzione proposta da Panurgo, ergo il mio metodo non funziona!
Se anzichè questo sistema utilizzo la somma dei rettangoli con altezza pari al valore della funzione nel punto medio dell'intervallo (o anche il punto finale, come ha fatto Pasquale) riesco ad ottenere un valore finito.
Purtroppo man mano che aumento la suddivisione della curva il risultato cresce in modo logaritmico senza convergere (esattamente come mi risultava dai calcoli fatti in precedenza).

A questo punto ho fatto una riflessione: secondo me arriviamo ad un risultato T=infinito per il semplice motivo che abbiamo ipotizzato che il carrello abbia una velocità iniziale pari a zero!
In tali condizioni il carrello si troverebbe in condizione di equilibrio (velocità nulla e forza ortogonale alla traiettoria, quindi componente di accelerazione nulla) e quindi non scivolerebbe lungo la sinuside, da cui il tempo infinito per percorrerla.

Mentre per la velocità si arriva ad un risultato finito con il limite per Viniziale tendente a zero, per il tempo di percorrenza temo non ci sia nulla da fare.

Ho provato a fare qualche calcolo con Viniziale diversa da zero e si nota immediatamente che le sommatorie (contrariamente a prima) tendono a convergere verso un valore finito:
Viniziale =0,1 m/s -> T=1,72 s
Viniziale =0,01 m/s -> T=2,46 s
Viniziale =0,001 m/s -> T=3,2 s (circa, non sono stato ad aspettare tanto)

Spero di non aver scritto troppe stupidaggini e sono curioso di sentire qualche notizia da Quelo:

A spanne direi che siamo vicini ai 3 secondi.

Direri che a spanne ci sei andato molto vicino.

[panurgo]

I ragionamenti sono corretti. Il primo integrale dà $s \/ \approx \/ 3,82019513543792$ mentre il secondo dà $t \/ = \/ \infty$: se il trenino inizialmente è fermo non si muove proprio dato che la pendenza è nulla per $x \/ = \/ 0$; per $x$ piccoli la pendenza è quasi nulla e il trenino si mette in moto mooolto lentamente.

Se abbiamo una piccola velocità iniziale l'integrale deve essere corretto così

$t \/ = \/ \int_{\script 0}^{\script \pi}{dx \/ \frac {\sqrt {1 + \sin^{\script 2} x}} {v_{\script 0} + \sqrt {2g} \sqrt{1 - \cos x}}}$

Se abbiamo un piccolo spostamento iniziale l'integrale deve essere corretto così

$t \/ = \/ \int_{\script a}^{\script \pi}{dx \/ \frac {\sqrt {1 + \sin^{\script 2} x}} {\sqrt {2g} \sqrt{1 - \cos x}}}$

In ogni caso, il tempo impiegato dipende dalla condizione iniziale.

[delfo52]

adesso che abbiamo (avete !!) sviscerato il modello del trenino puntiforme, sarebbe ora di passare al mondo reale....
credo che le cose si complichino, e non poco.
Quando il primo vagone comincia ad affrontare una discesa degna di questo nome, e di conseguenza, nel modello ideale, accelera in modo consistente, i suoi vagoni di coda sono un bel freeno !
Viceversa, alla fine della discesa, quando inizia la risalita, che all'inizio è appena un falsopiano, riceve una bella "vis a tergo" dal resto del convoglio che sta affrontando il tratto più ripido.
Non oso immaginare il comportamento del sistema quando la lunghezza del mezzo è magari tale da coprire tre o più "onde"......
Ci mettiamo amche qualche molla di amortizzazione tra un vagone e l'altro?
e magari qualche passeggero che dondola avanti e indietro?
vento, attrito, frequenza di risonanza, precessione degli equinozi....
a questo punto forse si fa prima a dare una risposta a caso !
(chiedo scusa agli ingegneri)

[franco]

Qualche anno fa sono stato a Gardaland per un seminario.

Non ci metto la mano sul fuoco, ma dopo aver visto cosa tutto calcolano, non escluderei che mettano in conto pure la precessione degli equinozi!!!

ciao.

[eugenio.amitrano]

oooppsss...dovevo essere proprio suonato.

[Pasquale]

Va bene, adesso tutto appare più chiaro e volendo avviare la discesa sempre per gravità, cioè spostando il punto di appoggio leggermente più avanti, applicando l'integrale di Panurgo, mi risulta un tempo di 2,4414 s.
La partenza l'ho fissata in corrispondenza di $x=10^{-8}$ e l'intervallo di integrazione l'ho suddiviso in $10^8$ parti.

LET s=PI/100000000
LET a=0
FOR x=s TO pi STEP s
LET h=SQR((1+(SIN(x))^2)/(SQR(2*9.81)*SQR((1-COS(x)))))
LET a1=s*h
LET a=a+a1
NEXT X
LET t=a/SQR(2*9.81)
PRINT a
END

[franco]

Pasquale,
hai diviso due volte per la radice di 2g?

(stasera a casa provo anch'io)

[Quelo]

Innanzi tutto complimenti a tutti per le varie elaborazioni, molto interssanti gli intergrali di panurgo (a quello per il calcolo dello spazio ero giunto anch'io ma per altre strade).

Mi rimane qualche dubbio sui tempi che avete calcolato, nel senso che a me vengono risultati diversi. E' chiaro che senza una spinta iniziale il trenino non si muoverebbe mai e infatti il testo del problema lo prevedeva, anche se in modo un po' vago. Inizialmente avevo ipotizzato un ragionevole, a mio giudizio, spostamento di 1 millimetro, di conseguenza il tempo era di circa 3 secondi, come già indicato.

Per calcolare il tempo ho ragionato come segue:

- scelgo un intervallo di tempo piccolo $dt$, ad esempio 1 millisecondo (ho poi verificato essere abbastabìnza indifferente, andrebbe bene anche 1 centesimo o 1 decimillesimo)
- scelgo un punto di partenza (o in alternativa una velocità iniziale)
- calcolo l'accelerazione nel punto (componente dell'accelerazione di gravità parallela al binario) --> $a(x) =\frac{g \/ sin(x)}{\sqrt{sin^2(x)+1}}$
- calcolo l'incremento di velocità e lo spazio percorso nell'unità di tempo (considerando l'accelerazione costante)
- calcolo il nuovo punto x in finzione dello spazio --> $dx=\frac{ds}{\sqrt{sin^2(x)+1}}$
- itero il processo fino a $x = \pi$

Facendo un po' di esperimenti ho ricavato le seguenti correlazioni (con una approssimazione di 2 cifre decimali per valori x o v minori di 0,1):

- partenza da $x=x_0$ con $\small{v=0}$ --> $t = 0.85-0.735 log_{10}(x_0)$

- partenza da $\small{x=0}$ con $v=v_0$ --> $t = 1.215-0.735 log_{10}(v_0)$

da cui per esempio:

X0 = 0,1 m -> T=1,585 s
X0 = 0,01 m -> T=2,32 s
X0 = 0,001 m -> T=3,055 s
...
X0 =$10^{-8}$ m -> T=6,73 s

oppure

V0 = 0,1 m/s -> T=1,95 s
V0 = 0,01 m/s -> T=2,685 s
V0 = 0,001 m/s -> T=3,42 s

Tutto questo, naturalmente, SE&O

[Quelo]

[Pasquale]

Scusate, il programmino riportato è il risultato di uno precedente, corretto dopo l'ultima indicazione di Panurgo, ma ho dimenticato di cancellare qualcosa.
In effetti quel t=a/SQR(2*9.81) è una voce inutile del programma che non viene nemmeno utilizzata.
Boh c'è qualcosa che non quadra e non so se ho copiato il programma giusto...devo guardare un po' e poi vi farò sapere.

----------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------

Si, come dicevo, basta cancellare la riga relativa a t: il tempo l'ho chiamato a, ma per non ingenerare confusione si può cambiare con t:

LET s=PI/100000000
LET t=0
FOR x=s TO pi STEP s
LET h=(SQR(1+(SIN(x))^2))/(SQR(2*9.81)*SQR(1-COS(x)))
LET a1=s*h
LET t=t+a1
NEXT X
PRINT t
END

Anche se la situazione è definita, appare abbastanza variabile (in un certo range) al variare di s, ma l'ordine dei valori gira intorno al 3: è chiaro che aumentando la precisione del calcolo, cioè diminuendo il valore di s, accade anche che il grave parte da una posizione più vicina al punto di equilibrio e questo spiega anche la variabilità del risultato.
Allora, per stabilizzare il risultato, non resta che scegliere un punto di partenza fisso e vedere come varia il risultato al diminuire di s; quindi apportando la piccola variazione descritta al programma, fisso la partenza a pi/10000 ed il risultato si avvia ben presto verso i 3,2 secondi con s= pi/10^7:

LET s=PI/10000000
LET partenza=PI/10000
LET t=0
FOR x=partenza TO PI STEP s
LET h=(SQR(1+(SIN(x))^2))/(SQR(2*9.81)*SQR(1-COS(x)))
LET t1=s*h
LET t=t+t1
NEXT X
PRINT t
END

Fissando la partenza più avanti a pi/1000, il tempo diminuisce con tendenza ai 2,468 secondi e dunque tutto torna.
Molto belle e comode le formule del grande Panurgo.

[Quelo]

Ecco cosa ottengo con le mie formule empiriche se parto da PI/1000 e PI/10000

$x_0 = \frac{\pi}{1000}$ --> $t=2.69$

$x_0 = \frac{\pi}{10000}$ --> $t=3.425$

se invece parto da da 2PI/1000 e 2PI/10000

$x_0 = \frac{2\pi}{1000}$ --> $t=2.468$

$x_0 = \frac{2\pi}{10000}$ --> $t=3.2$

che sono i risultati di Pasquale.

Lo stesso per le velocità

V0 = 0,1 m/s --> T=1,95 s
V0 = 0,01 m/s --> T=2,685 s
V0 = 0,001 m/s --> T=3,42 s

V0 = 0,2 m/s --> T=1,729 s
V0 = 0,02 m/s --> T=2,464 s
V0 = 0,002 m/s --> T=3,199 s

che sono i risultati di Franco.

A questo punto mi viene il dubbio di aver sbagliato di un fattore 2 i calcoli sul punto di partenza, devo verificare.

[Quelo]

Ho risolto le discrepanze. I risultati sono diversi perché con il mio metodo di calcolo ottengo il tempo partendo con velocità 0 da un punto x>0, mentre con l'integrale di panurgo la velocità nel punto x>0 è quella che avrebbe il trenino se fosse partito dalla cima.
Faccio un esempio pratico, partiamo da metà percorso x=PI/2, cioè da un'altezza di 1 metro:
se partiamo con velocità nulla, la velocità finale sarà $v = \sqrt{2g(1- \cos(\frac{\pi}{2}))} =$ 4.429 m/sec e il tempo di percorrenza di circa 0,76 sec
se invece usiamo l'integrale otteniamo sempre una velocità finale (rapporto fra ds e dt finali) di 6.264 m/sec, cioè pari a quella dell'intero percorso, e un tempo di percorrenza minore.
In pratica l'integrale è tanto più preciso quanto più il punto di partenza è vicino a zero, ma in questo caso il risultato, come già osservato, sarà infinito.

Ipotizziamo che il trenino venga invece portato in un punto x>0 e lì lasciato andare senza spinta, la soluzione dovrebbe essere questa:

$\Large t \/ = \/ \int_{x_0}^{\pi}{\frac {\sqrt {1 + \sin^{\script 2} x}} {\sqrt{2g \/ (\cos (x_0) - \cos (x))}}} \/ dx$

LET i=PI/100000
LET x0=0.001
LET t=0
LET s=0
FOR x=x0+i TO PI STEP i
LET k=SQR(1+(SIN(x))^2)
LET j=SQR(2*9.81)*SQR(COS(x0)-COS(x))
LET h=k/j
LET dt=i*h
LET t=t+dt
LET ds=i*k
LET s=s+ds
NEXT X
PRINT "t ="; t
PRINT "s ="; s
PRINT "v ="; ds/dt
END

[Quelo]