Montagne russe

[Quelo]

Nel parco giochi di Base5 la montagne russe hanno una forma perfettamente sinosuidale. Misteriosamente sono alte solo 2 metri e la distanza tra una cresta e una valle è di $\pi$ metri. Un trenino parte dalla sommità di una cresta con velocità praticamente nulla (ma sufficiente a rompere l'equilibrio). Considerare quanto segue e ignorare tutti gli altri fattori esterni (attrito, forma e dimensioni del trenino, peso, ecc...):
1) l'accelerazione di gravità è 9,8 m/sec²
2) il trenino è di colore giallo
3) il macchinista ha 42 anni

Dire qual è la velocità massima raggiunta dal trenino.

[Quelo]

[Pasquale]

Ricordo poco di questi argomenti, per cui sono indeciso fra 6,2642 m/s e 8,6575 m/s (pardon)

[eugenio.amitrano]

Facendo dei calcoli a mente velocemente sembra corretta la tua prima risposta.
C'e' qualche trabocchetto?

[Quelo]

La risposta esatta è 6.261 m/sec se si considera un'accelerazione di gravità di 9.8 m/sec², se invece si considera 9.81 la risposta é la prima di Pasquale, 6.2642 m/sec.
Dopo aver proposto questo quesito e aver fatto un po' di calcoli matematici, integrali, derivate, ecc... che comunque mi hanno portato alla soluzione, mi sono ricordato un po' di fisica. Se ignoriamo l'attrito e altri fattori esterni possiamo dire che l'energia potenziale è $E_p=mgh$ mentre quella cinetica è $E_m=\frac{1}{2}mv^2$ per cui $v=\sqrt{2gh}$ indipendentemente dal percorso seguito in discesa.

In effetti era piuttosto semplice. Sapreste dire invece in quanto tempo il trenino raggiunge la velocità massima ?

[Pasquale]

Anche qui ho un dubbio fra 0,6385 s e 0,8825 s (considerando g = 9,81 m/$s^2$)

[eugenio.amitrano]

La formula generale dello spazio nel moto uniformemente accelerato e'
$Y = 1/2at^2$,

applichiamo la formula inversa:
$t = sqrt(2Y/a)$
$Y = 2m$
$a = 9.81m/s^2$
$t = sqrt(2*2/9.81) = 0.638551s$

Da dove viene fuori $0.8825s$?

[Quelo]

Questo è senz'altro vero per un corpo in caduta libera, ma non è questo il caso. Qui si chiede di stabilire il tempo che il trenino impiega per scendere lungo il binario che ha una forna sinusoidale.

[Pasquale]

Perché il percorso non è lungo 3,8202 ?

[Quelo]

Non ho i calcoli sotto mano, ma il perrcorso dovrebbe essre sui 3,8 metri. Tuttavia l'accelerazione non è costante lungo tutto il percorso, perché se così fosse la velocità finale sarebbe di oltre 8 m/sec.

P.S. Come hai calcolato la lunghezza del percorso ?

[franco]

P.S. Come hai calcolato la lunghezza del percorso ?

Pasquale non so come ha fatto; io, approssimando la sinusoide con una spezzata di 1000 segmenti, ottengo 3,820197 (con 2000 segmenti viene 3,82198: più o meno ci siamo).
Peccato che questo metodo, che mi consente spesso di supplire al fatto che ho ormai dimenticato buona parte delle mie conoscenze su derivate ed integrali, non mi porti da nessuna parte per quanto riguarda il calcolo del tempo necessario a percorrere il binario. Mi sa che un po' di calcolo differenziale è indispensabile per evitare di cadere in situazioni simili al paradosso di Achille.
A spanne direi che siamo vicini ai 3 secondi.

[Quelo]

Direri che a spanne ci sei andato molto vicino.

[Pasquale]

Ho fatto come Franco, calcolando la lunghezza di una spezzata avente segmenti tendenti a zero: ho dovuto aspettare un po' per il risultato (è chiaro che il valore esatto sarà leggermente più alto).
In pratica ho calcolato la lunghezza di un arco di sinusoide di equazione y=sin(x), fra 0 e pi/2, e poi l'ho raddoppiata. Segue il relativo programmino in decimal Basic che calcola la suddetta sommatoria:

LET s=PI/200000000
LET c=s^2
LET y1=0
LET l=0
FOR x=s TO PI/2 STEP s
LET y2=SIN(x)
LET d=y2-y1
LET l2=SQR(c+d^2)
LET l=l+l2
LET y1=y2
NEXT X
LET l=2*l
PRINT l

Segue poi la seguente proposta di calcolo approssimato, che conferma la lunghezza del percorso, mentre fissa a 5,8665 secondi il tempo di percorrenza:

LET s=PI/30000000
LET c=s^2
LET y1=2
LET l=0
LET t=0
FOR x=PI/2+s TO 3*PI/2 STEP s
LET y2=SIN(x)+1
LET d=y1-y2
LET l1=SQR(c+d^2)
LET dis=2-y2
LET v1=SQR(2*dis*9.81)
LET t1=l1/v1
LET t=t+t1
LET l=l+l1
LET y1=y2
NEXT X
PRINT "lunghezza percorso =";l
PRINT "tempo di percorrenza =";t
END

In questo secondo programmino, nell'intervallo pi/2-3pi/2 suddiviso in 3*10^7 parti, calcolo la lunghezza approssimata dei tratti di curva y=sin(x)+1, in corrispondenza di ogni intervallino, e la somma di tali valori ricostruisce man mano il percorso intero.
Ad ogni particella di curva calcolo la velocità del trenino raggiunta fino a quel punto, in base al dislivello totale, e la considero applicata in media all'intera particella di curva; contestualmente calcolo in corrispondenza il tempuscolo medio di percorrenza.
Al termine del ciclo, la somma di tutti i tempuscoli mi dà il tempo totale approssimato di percorrenza dell'intera curva.
Purtroppo non ho potuto spingere oltre la precisione per ragioni di overflow.

^^^^^^^^^^^^^^

Ulteriori considerazioni:

Vedo sotto che panurgo ha messo a posto le cose da un punto di vista formale, (il che elimina errori ed approssimazioni), ma io gli integrali non li so fare; per quanto riguarda la precisazione di Infinito (di cui saluto gli ormai suoi rari interventi), ne prendo atto, ma ad ogni modo, siccome per me si tratta di un esercizio con tentativo di risolvere problemi più grandi delle mie cognizioni con strumenti elementari, a titolo di puro divertimento e svago, diciamo che ho assunto 9,81 come valore convenzionale, pur ringraziando Infinito per le sue istruttive precisazioni.

Una nota per quanto riguarda l'impostazione del secondo programma di calcolo:

come già detto, ho calcolato la velocità del trenino a tratti di curva di dimensioni crescenti, man mano a questa sono stati aggiunti i segmentini corrispondenti agli intervalli "s" dell'ascissa, considerando per queste le formule di moto accelerato per la caduta libera di gravi; ho assunto (arbitrariamente) che tale velocità fosse riferita in modo uniforme a tutto il piccolo tratto di curva precedente (in quanto piccolo); per tale piccola tratta ho calcolato il tempo impiegato, utilizzando la formula del moto rettilineo uniforme.
E' chiaro che di approssimazione, anche se riferita ad un minuscolo tratto di curva, ce n'è tanta, specie se si considera che tale approssimazione è stata molto moltiplicata, però che vi dico? Non mi vergogno di sparare c...te, perché comunque mi diverto.
Tuttavia, se ho considerato la velocità raggiunta alla fine di un trattino come applicata all'intero trattino precedente, l'approssimazione per la velocità, applicata poi in modo uniforme per l'intero trattino, è in eccesso e il tempuscolo impiegato è approssimato in difetto, per cui la somma di tutti i difetti dovrebbe dare un difetto maggiore e quindi il tempo impiegato dovrebbe essere ancora più lungo del risultato ottenuto con il programmino...staremo a vedere cosa ci dice l'integrale di Panurgo.
Alla prossima c...ta

[infinito]

La risposta esatta è 6.261 m/sec se si considera un'accelerazione di gravità di 9.8 m/sec², se invece si considera 9.81 la risposta ...

Se ben ricordo, a mia calcolatrice mi dava (non la trovo più ...) 9,8065 m/s².

Quando io provai a misurare g (col metodo del pendolo) mi accorsi che probabilmente la gravità era minore di 9,81, ma l'errore della misura, per poco, non mi consentì di esserne sicuro.

Per quanto sembri strano l'incertezza derivò soprattutto dal fatto che non riuscii a stimare (o maggiorare) con sufficiente precisione la massa lineare del filo da pesca che usai per il pendolo ...

[panurgo]

Sappiamo che nel punto $\text P$ la velocità del trenino vale

$\frac {ds}{dt} \/ = \/ \sqrt {2 \/ g \/ h} \/ = \/ \sqrt {2 \/ g \/ \left ( {1 \/ - \/ \cos x}\right )}$

con

$ds \/ = \/ \sqrt {dx^{\script 2} \/ + \/ dy^{\script 2}}$

e

$y \/ = \/ 1 \/ + \/ \cos x \qquad \Rightarrow \qquad dy \/ = \/ - \sin x \/ dx$

da cui

$ds \/ = \/ dx\/ \sqrt {1 \/ + \/ \sin^{\script 2} x}$

e quindi

$\frac {dx}{dt} \/ \sqrt {1 \/ + \/ \sin^{\script 2} x}\/ = \/ \sqrt {2 \/ g \/ \left ( {1 \/ - \/ \cos x}\right )}$

cioè

$s \/ = \/ \int_{\script 0}^{\script \pi} {dx \/ \sqrt {1 \/ + \/ sin^{\script 2} x}} \\ t \/ = \/ \frac 1 {\sqrt {2g}} \/ \int_{\script 0}^{\script \pi} {dx \/ \sqrt {\frac {1 + sin^{\script 2} x} {1 - \cos x}}}$

che somigliano tanto a degli integrali ellittici...


...buon lavoro

[franco]

I miei calcoli sono simili a quelli di Pasquale, salvo per il fatto che li ho sviluppati in excel.

Se il percorso fosse effettivamente una spezzata potrei calcolarne la lunghezza usando il teorema di Pitagora per ognuno dei segmentini e con questo sistema si vede che il risultato converge piuttosto rapidamente verso 3,82 m circa.

Il problema salta fuori quando vado a calcolare il tempo totale.
Usando il principio di conservazione dell'energia trovo la velocità nel punto iniziale e finale di ogni segmento; avendo considerato l'ipotesi della spezzata assumevo che in quel tratto l'accelerazione fosse costante e quindi la velocità media pari alla media aritmetica delle velocità ad inizio e fine segmento.
Calcolavo quindi il tempo necessario per percorrere il segmentino, sommavo il tutto ed avrei dovuto trovare (o quanto meno mi aspettavo di trovare) un risultato che ancora convergeva da qualche parte.

Niente da fare!
Più rimpicciolisco gli intervalli più il tempo aumenta:
con 10 intervalli il risultato è T=1,6 s
con 100 intervalli il risultato è T=2,4 s
con 1000 intervalli il risultato è T=3,1 s
con 10000 intervalli il risultato è T=3,8 s

Ho fatto un grafico ed è subito saltato fuori che T cresce in maniera logaritmica rispetto al numero di intervalli con una correlazione praticamente perfetta:


Mah!
Sicuramente c'è qualcosa di sbagliato o nel ragionamento o nei conti.

Se ci riesco più tardi provo a capire meglio il post di Panurgo e vedere se mi aiuta (però il solo sentire nominare "integrali ellittici" mi spaventa un pochino).