Contrapposizione inevitabile

[franco]

Suddividiamo una circonferenza in 2025 archi contigui di cui 675 di lunghezza 1, 675 di lunghezza 2 e 675 di lunghezza 3.
Dimostrare che, qualunque sia l'ordine secondo cui questi archi sono tracciati, almeno due delle estremità d'arco sono diametralmente opposte

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G2814


Zig découpe la circonférence d’un cercle en 2025 arcs contigus dont 675 de longueur 1, 675 de longueur 2 et 675 de longueur 3. Prouver que quel que soit l'ordre selon lequel Zig trace ces arcs, au moins deux extrémités d'arc sont diamétralement opposées.

[NothIng]

Ecco i miei ragionamenti comprensivi di eventuali errori e imprecisioni.

Considero un caso semplice con solo $\displaystyle{n=4}$ archi di ciascuna lunghezza e li sistemo in modo che in posizione diametralmente opposta all’arco lungo 1 ce ne sia uno:

• lungo 1; i casi possibili sono:

  

  1 opposto a 1

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  1 opposto a 1 - a

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• lungo 2; i casi possibili sono:

  

  2 opposto a 1

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  2 opposto a 1 - a

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• lungo 3; i casi possibili sono:

  

  3 opposto a 1

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  3 opposto a 1 - a

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  3 opposto a 1 - b

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Ipotizzo che non ci siano estremità di arco diametralmente opposte: l’unica possibilità è che ogni arco lungo 1 sia interamente contenuto in un arco lungo 3 (situazione "3 opposto a 1 - a");
si ha quindi l'“accoppiamento forzato” tra un arco lungo 1 e uno lungo 3.

In questa situazione è possibile dividere la genenerica circonferenza formata da $\displaystyle{n}$ archi per tipo in due settori di lunghezza $\displaystyle{3n-2}$ ciascuno

lunghezza settori

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• Ogni settore è lungo $\displaystyle{3n-2}$; contiene $\displaystyle{u}$ archi lunghi 1 + $\displaystyle{d}$ archi lunghi 2 + $\displaystyle{t}$ archi lunghi 3

• Per via dell'"accoppiamento forzato" se un settore contiene $\displaystyle{u}$ archi lunghi 1 e $\displaystyle{t}$ archi lunghi 3 l’altro ne conterrà $\displaystyle{t}$ lunghi 1 e $\displaystyle{u}$ lunghi 3 e

• il numero di archi lunghi uno che si possono mettere in questo settore è $\displaystyle{u = n-1-t}$
  perché in totale gli archi lunghi uno sono $\displaystyle{n}$, 1 è già stato inserito, quello considerato in figura, e nell'altro settore ci sono $\displaystyle{t}$ archi lunghi uno

Mettendo tutto insieme:
$\displaystyle{3n-2 = 1u + 2d + 3t \rightarrow 3n-2 = n-1-t + 2d + 3t \rightarrow 2n-1 = 2t + 2d \rightarrow 2(n-t-d) = 1}$ che non ha soluzioni per $\displaystyle{n,d,t}$ interi
quindi l’ipotesi che non ci siano estremità di arco diametralmente opposte è assurda per qualsiasi numero $\displaystyle{n}$ di archi

[NothIng]

Ho ottenute le figure con GeoGebra usando questo script:

Codice: Seleziona tutto

n=24
W=Successione((cos(2 p*((k)/(n))),sin(2 p*((k)/(n)))),k,0,n-1)
L={1,3,2,2,3,3,2,2,1,1,1,3}
C=(0,0)
E12=Successione(Elemento(W,Resto(Se(k?0,0,Somma(Estrai(L,1,k))),n)+1),k,0,Lunghezza(L)-1)
H=Successione((x(Elemento(E12,k)),y(Elemento(E12,k))),k,1,Lunghezza(E12))
c: Circonferenza(C,1)
EtichetteW=Successione(Testo("W_{"+(k)+"}",Elemento(W,k)+(0.05,0.05),true),k,1,Lunghezza(W))
Etichette=Successione(Testo("P_{"+(k-1)+"}",Elemento(E12,k)+(0.05,0.05),true),k,1,Lunghezza(E12))
A=Intersezione(c,MAPS,2)
f: Retta(A,C)
B=Punto(c)
D=Punto(c)
g: Retta(B,D)

[NothIng]

Il numero di modi in cui si possono disporre i 3 tipi di archi trascurando le rotazioni e simmetrie varie, è $\displaystyle{\frac{(3n)!}{(n!)^3}}$ ed è ovviamente intero.
Vi chiedo: per ogni $\displaystyle{k}$ intero >=1 $\displaystyle{\frac{(kn)!}{(n!)^k}}$ è sempre intero? Quanto vale?

[NothIng]

Il numero di modi in cui si possono disporre i 3 tipi di archi trascurando le rotazioni e simmetrie varie, è $\displaystyle{\frac{(3n)!}{(n!)^3}}$ ed è ovviamente intero.
Vi chiedo: per ogni $\displaystyle{k}$ intero >=1 $\displaystyle{\frac{(kn)!}{(n!)^k}}$ è sempre intero? Quanto vale?

Sì, è sempre un intero.
Usando termini "telescopici" i cui fattoriali intermedi si cancellano “a catena” si può scrivere:

$\displaystyle{ \frac{(kn)!}{((k-1)n)!n!}\cdot \frac{((k-1)n)!}{((k-2)n)!n!}\cdots \frac{(2n)!}{n!n!} = \frac{(kn)!}{(n!)^k} = \prod_{j=1}^{k-1} \binom{(j+1)n}{n}}$.

Ogni coefficiente binomiale è un intero perchè vale la relazione ricorsiva, usata ad esempio per costruire il triangolo di Tartaglia:
$\displaystyle{\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}}$

Tutti questi termini sono interi quindi è intero anche il loro prodotto.

[Gianfranco]

Ecco i miei ragionamenti comprensivi di eventuali errori e imprecisioni.

Ciao Nothing, grazie e complimenti per l'analisi e la soluzione! La sto ancora esaminando nei dettagli.
Ho aspettato tanto a rispondere perché volevo trovare una dimostrazione numerica (senza riferimento alla geometria) da solo a questa sfida.
Per ora non ci sono riuscito, ma la strada mi sta portando a esaminare diversi casi come hai fatto tu.
Questo problema è molto difficile per me, forse troppo. chissà...