L'enigma degli otto commensali

[franco]

Otto amici hanno organizzato una cena e si sono accomodati attorno ad un tavolo ottagonale.
Sono seduti in ordine alfabetico in senso orario.
Sul tovagliolo di ognuno di essi è ricamato un numero intero strettamente positivo ben visibile da tutti i commensali.
Prima di cominciare il pasto, seguendo l'ordine dei posti, ognuno di loro parla e dice:

• Alice: Il mio numero è il triplo di quello della persona di fronte a me

• Bruno: Il mio numero è la media aritmentica di quelli dei miei due vicini

• Carla: Il mio numero è il doppio di quello della persona di fronte a me

• Dario: Il mio numero è uguale al rapporto fra quelli dei miei due vicini

• Eleonora: Il mio numero è la media geometrica di quelli dei miei due vicini

• Fausto: Il mio numero è la somma di quelli dei miei due vicini

• Giovanna: Il mio numero è la media aritmentica di quelli dei miei due vicini

• Hans: Amici di Base Cinque che leggete: sapete determinare quali sono gli otto numeri ricamati nei nostri tovaglioli sapendo che sono tutti diversi e che la loro somma è la più piccola possibile?

Ciao

Franco

www.diophante.fr
A4972

[Maurizio59]

Io ho trovato questi numeri:
Alice: 180
Bruno: 390
Carla: 600
Dario: 10
Eleonora: 60
Fausto: 360
Giovanna: 300
Hans: 240
Però non sono sicurissimo che la loro somma (2140) sia la minima possibile.

[Gianfranco]

Bel problema, Franco e grazie Maurizio per la tua soluzione.
Appena ho un po' di tempo, mi impegno nella soluzione.
Chiedo scusa, non è pigrizia, è che sono un po' sotto pressione lavorativa... scolastica...

[Quelo]

Ecco la mia soluzione
A = 36
B = 42
C = 48
D = 4
E = 12
F = 36
G = 24
H = 12
somma = 214

D è un rapporto, quindi immagino che sia il numero più piccolo

$\displaystyle F=E+G=\sqrt{DF}+\frac{F+H}{2}$

risolvendo per F

$\displaystyle F=2D+H\pm2\sqrt{D^2+DH}$

D(D+H) deve essere un quadrato e, poiché H>0, sia D che (D+H) sono dei quadrati

$\displaystyle C=2G=2E+2H>E$

$\displaystyle D=\frac{2E+2H}{E}=2+2\frac{H}{E}$

Il minimo per D si ha quando H = E, poniamo D = 4

$\displaystyle G=\frac{F+H}{2}; \quad G=E+H; \quad G=2E; \quad F=E+G=3E$

$\displaystyle E=\sqrt{DF}=\sqrt{12E}; \quad E^2=12E; \quad E=12$

$\displaystyle H=E; \quad D+H=16; \quad F=3E=36=8+12+16$

e gli altri numeri di conseguenza

[Maurizio59]

Ecco la mia soluzione:
A = 36
B = 42
C = 48
D = 4
E = 12
F = 36
G = 24
H = 12
somma = 214
...

Quelo, i numeri devono essere tutti diversi.
Nella tua soluzione si ha A = F = 36 e E = H = 12.

[Quelo]

Hai ragione, non ho considerato i numeri diversi.
In questo caso la soluzione minima è la tua.
Inoltre D non deve essere necessariamente un quadrato.

Resta valido il resto del mio ragionamento.
Supponiamo di provare valori crescenti di D a partire da 4.
Abbiamo un'altra soluzione non valida per D=6 (a=72 b=108 c=144 d=6 e=24 f=96 g=72 h=48 s=570)
Una sempre non valida per D=8 (a=120 b=220 c=320 d=8 e=40 f=200 g=160 h=120 s=1188)
Arriviamo quindi a D=10 (a=180 b=390 c=600 d=10 e=60 f=360 g=300 h=240 s=2140)

$\displaystyle H=4E; \quad G=E+H=5E; \quad F=E+G=6E$

$\displaystyle E=\sqrt{DF}=\sqrt{60E}; \quad E^2=60E; \quad E=60$

$\displaystyle F=6E=360=20+240+100$

Tutte le altre soluzioni hanno somma maggiore

[Gianfranco]

Sto studiando wxMaxima e ne ho approfittato per risolvere questo problema.
Forse interessa a qualcuno.

1) Ho sottoposto a wxMaxima questo sistema algebrico:

Codice: Seleziona tutto

algsys([
a=3*e,
b=(a+c)/2,
c=2*g,
d=c/e,
e^2=d*f,
f=e+g,
g=(h+f)/2
],
[a,b,c,d,e,f,g,h]); 

Il dubbio era:
d=c/e oppure d=e/c, li ho provati tutti e due.

La soluzione è stata questa:

Codice: Seleziona tutto

[
a=(3*%r1^2+6*%r1)/2,
b=(%r1^3+5*%r1^2+6*%r1)/4,
c=(%r1^3+2*%r1^2)/2,
d=%r1,
e=(%r1^2+2*%r1)/2,
f=(%r1^3+4*%r1^2+4*%r1)/4,
g=(%r1^3+2*%r1^2)/4,
h=(%r1^3-4*%r1)/4
]

OK, le soluzioni possibili di pendono dal parametro %r1.
Se vogliamo che siano numeri interi, il parametro deve essere pari.
---
Poi ho usato la soluzione col parametro per far stampare le prime 5 soluzioni numeriche dal seguente programmino in wxMaxima.

Codice: Seleziona tutto

soluzione: [
a=(3*%r1^2+6*%r1)/2,
b=(%r1^3+5*%r1^2+6*%r1)/4,
c=(%r1^3+2*%r1^2)/2,
d=%r1,
e=(%r1^2+2*%r1)/2,
f=(%r1^3+4*%r1^2+4*%r1)/4,
g=(%r1^3+2*%r1^2)/4,
h=(%r1^3-4*%r1)/4
]$;

for r_valore in [2,4,6,8,10] do
(
    risultato: subst(%r1 = r_valore, soluzione),
   
    print("Valore di %r1:", r_valore),
    print("Soluzione:", risultato)
)$

Questo è stato l'output:

Codice: Seleziona tutto

Valore di %r1: 2 
Soluzione: [a=12,b=10,c=8,d=2,e=4,f=8,g=4,h=0] 
Valore di %r1: 4 
Soluzione: [a=36,b=42,c=48,d=4,e=12,f=36,g=24,h=12] 
Valore di %r1: 6 
Soluzione: [a=72,b=108,c=144,d=6,e=24,f=96,g=72,h=48] 
Valore di %r1: 8 
Soluzione: [a=120,b=220,c=320,d=8,e=40,f=200,g=160,h=120] 
Valore di %r1: 10 
Soluzione: [a=180,b=390,c=600,d=10,e=60,f=360,g=300,h=240] 

Si vede che la soluzione buona è l'ultima, quella per %r1=10.
---
That's all folks!