Il ragno e la mosca

[franco]

Un ragno mangia tre mosche al giorno.
Sinchè è ancora affamato le mosche hanno il 50% di probabilità di superare la ragnatela senza essere catturate dal ragno.
Sapendo che 5 mosche hanno già tentato la sorte oggi, che probabilità di sopravvivere ha la sesta?

ciao

[delfo52]

a occhio direi 3 su 4
appena ho voglia e tempo, faccio un po' di conti (o una simulazione)

[Pasquale]

Se con 6 mosche il ragno riesce a completare il suo pasto di 3 mosche, C(6,3)=20 sono sono tutte le combinazioni possibili delle 3 mosche mangiate e la mosca 6, così come le altre, appare in 10 combinazioni diverse; per cui ogni mosca ha il 50% di probabilià di essere mangiata o di salvarsi, indipendentemente dall'ordine con cui le mosche fanno il tentativo di passare.

Altro ragionamento mi porta a pensare che la sesta mosca può salvarsi se il ragno riesce a completare il pasto con le prime 5 mosche; la probabilità che questo avvenga con una qualsiasi terna di mosche a scelta è $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

Boh! Con queste probabilità è sempre un casino.

[panurgo]

direi $\frac 9 {16}$

[delfo52]

parto con la prima mosca:
su 32 volte, 16 volte passa e 16 viene presa
la seconda produce la seguente situazione: 8-16-8 (nel senso che 8 volte il ragno ne avrà mangiate 2; 16 volte 1 e 8 volte ancora nuilla
Con la terza, arriviamo a: 4-12-12-4
il bello comincia ora; dalla quarta mosca in avanti, quando il ragno ha già mangiato 3, il percorso è sicuro al 100%, per cui, alla quarta mosca abbiamo:
10-12-8-2 e alla quinta 16-x-x-x
(non hanno importanza i valori di x; quello che conta è che, passando da una mosca a quella successiva, la metà delle condizioni con due mosche mangiate porta a tre mosche mangiate)
Se 16 volte su 32 il ragno è sazio, significa che le altre 16 volte le mosche rischiano al 50%
A me viene proprio 3/4
SE&O

[Admin]

Se con 6 mosche il ragno riesce a completare il suo pasto di 3 mosche, C(6,3)=20 sono sono tutte le combinazioni possibili delle 3 mosche mangiate e la mosca 6, così come le altre, appare in 10 combinazioni diverse; per cui ogni mosca ha il 50% di probabilià di essere mangiata o di salvarsi, indipendentemente dall'ordine con cui le mosche fanno il tentativo di passare.

No. Perchè le combinazioni in cui compare ed in cui non compare la 6° mosca, non sono eventi equiprobabili (dal momento che solo le prime 3 mosche hanno la stessa probabilità di essere mangiate o non).

direi $\frac 9 {16}$

ciò è valido per la 4° mosca.
Ma Franco vuole la probabilità per la 6° mosca.

Ciao
Admin

[Admin]

Concordo col risultato di delfo: $\frac{3}{4}$.

Il mio ragionamento è molto semplice:
basta calcolare la probabilità che il ragno sia sazio, dopo ogni passaggio di una mosca.

Per cui, dopo il passaggio della 3° mosca, la probabilità che il ragno sia sazio (la indico con $p(Rs3)$), risulta essere, banalmente,
$p(Rs3)\/=\/\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\/=\/\frac18$
(1 solo caso favorevole sugli 8 possibili ed equiprobabili).

Quindi la 4° mosca si salva al 100% se il ragno è sazio, oppure al 50% se il ragno non lo è; ossia la sua probabilità di salvarsi è:
$p(Ms4)\/=\/\frac18\/+\/\frac78\cdot\frac12\/=\/\frac{9}{16}$

Dopo il passaggio della 4° mosca, il ragno risulta sazio se era già sazio da prima, oppure se in precedenza aveva mangiato solo 2 mosche e adesso ha mangiato la 4°, ossia la sua probabilità di essere sazio dopo la 4° mosca è:
$p(Rs4)\/=\/\frac18\/+\/\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot{3 \choose 2}\cdot\frac12\/=\/\frac{5}{16}$

Quindi, analogamente al caso della 4° mosca, la probabilità di salvarsi della 5° mosca è:
$p(Ms5)\/=\/\frac{5}{16}\/+\/\frac{11}{16}\cdot\frac12\/=\/\frac{21}{32}$

Dopo il passaggio della 5° mosca, il ragno risulta sazio se era già sazio da prima,
oppure se in precedenza aveva mangiato solo 2 mosche nelle prime 3, non aveva mangiato la 4° e adesso ha mangiato la 5°,
oppure se in precedenza aveva mangiato solo 1 mosca nelle prime 3, aveva mangiato la 4° e adesso ha mangiato la 5°,
ossia la sua probabilità di essere sazio dopo la 5° mosca è:
$p(Rs5)\/=\/\frac{5}{16}\/+\/\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot{3 \choose 2}\cdot\frac{9}{16}\cdot\frac12\/+\/\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot{3 \choose 1}\cdot\frac{7}{16}\cdot\frac12\/=\/\frac{1}{2}$

Quindi, la probabilità della 6° mosca di salvarsi è:
$p(Ms6)\/=\/\frac12\/+\/\frac12\cdot\frac12\/=\/\frac34$

SE&O
Admin

P.S: riguardando il problema, intuitivamente, mi sembra che sia interessante anche la seguente questione:
Quante mosche devono tentare la sorte, in media, prima che il ragno si sazi?

[Pasquale]

Opperbacco, lo sapevo che avevo fatto un casino !

[Pasquale]

Opperbacco, lo sapevo che avevo fatto un casino !

[franco]

a occhio direi 3 su 4

Naturalmente Enrico ha ragone, come dimostrato anche da Pietro.

Per conto mio ho utilizzato il sempre utile reticolo binomiale (che continuo a sviluppare in verticale):


E' possibile con questo sistema andare a generalizzare:
La probabilità che il ragno sia sazio della sua razione giornaliera di X mosche dopo il passaggio di N (N>X) insetti è (uso la notazione di Pietro):
$P_{\left( {RsN} \right)} = 1 - {1 \over {2^N }}\sum\limits_{i = 0}^{X - 1} {\left( {\matrix{ N \cr i \cr } } \right)}$

Di conseguenza, la probabilità che la (N+1)esima mosca sopravviva sarà:
$P_{\left( {MsN + 1} \right)} = 1 - {1 \over {2^{N + 1} }}\sum\limits_{i = 0}^{X - 1} {\left( {\matrix{ N \cr i \cr } } \right)}$

(SEO)
.................................................

Mentre scrivevo tutto ciò mi è venuto in mente un modo per complicare un po' il problema raddoppiando tutto:

Immaginiamo che i ragni siano due, disposti in successione in modo che il secondo "accoglie" solo le mosche sopravvissute al primo.
Assunto che ogni ragno si sazi con 3 mosche e le mosche abbiano sempre il 50% di possibilità di sfuggire ad ogni ragnatela, che probabilità di salvezza avrà la 12 mosca?

Uhm! Forse l'ho complicato troppo!

ciao

[delfo52]

dopo 11 prede, quasi sicuramente il primo ragno sarà sazio, per cui, se ipotizziamo che tre mosche siano state intrappolate, possiamo riportare il caso a quello della nona mosca alle prese con un solo ragno
però....
esiste la possibilità, piccola ma esiste, che il primo ragno sia stato sfortunato: in questo caso la sua sfortuna si ripercuote sulla povera mosca che deve affrontare (al 50% di possibilità) il primo aracnide. oltretutto sapendo che con tutta probabilità il secondo è già sazio !
Comunque, se fossi una mosca, preferirei partire per dodicesima con 2 ragni che quinta con con uno

[franco]

Ho sviluppato i calcoli che confermano la preferenza di Enrico.

La probabilità della dodicesima mosca di passare indenne attraverso le due ragnatele mi risulta essere:
$P = {{15318613} \over {2^{24} }} \approx 91,306\%$

Più tardi provo a mettere in TEX i calcoli che mi hanno portato a questo risultato.

ciao

P.S. (meglio la 12^ davanti a due ragni che la 6^ davanti ad uno solo; meglio ancora essere l'9^ davanti a un solo ragno: la probabilità di sopravvivenza è del 92,8%)

[franco]

Ho optato per word piuttosto che Tex:




ciao

[Admin]

La probabilità che il ragno sia sazio della sua razione giornaliera di X mosche dopo il passaggio di N (N>X) insetti è (uso la notazione di Pietro):
$P_{\left( {RsN} \right)} = 1 - {1 \over {2^N }}\sum\limits_{i = 0}^{X - 1} {\left( {\matrix{ N \cr i \cr } } \right)}$

come hai ricavato tale generalizzazione?

perchè ci stavo lavorando utilizzando però la formula
$a(n)=2^{n}-F(n+2)$ (F(n) = n-esimo numero nella serie di Fibonacci)
che avevo già citato nel post di panurgo dal titolo semplice,semplice.

Ciao
Admin

[franco]

come hai ricavato tale generalizzazione?

Nel reticolo binomiale che ho disegnato, le probabilità (in giallo) legate al ragno non sazio sono date da:

P=(N:m)/2^N

dove N è il numero delle mosche passate, m quello delle mosche mangiate (m<3, altrimenti il ragno sarebbe sazio) e con (N:m) ho rappresentato il coefficente binomiale = N!/(m!*(N-m)!)

La probabilità che il ragno NON sia sazio è dopo il passaggio di N mosche è la somma delle probabilità dei casi in cui ha mangiato 0, 1 o 2 mosche ossia = ((N:0)+(N:1)+(N:2))/2^N
La probabilità che invece il ragno si sia sfamato è il complemento a uno, ossia la formula generalizzata che ho scritto.