Le 6 monete (il Remake)

[giobimbo]

Ho 6 monete, una è falsa, quella falsa ha un peso diverso da quelle vere ma non si sa se pesi di più o di meno. Come posso determinare quale sia la moneta falsa e se pesi di più o di meno con tre pesate su una bilancia per oro che dia il valore preciso delle monete?

Questo chiedeva il vecchio problema di Paolo32 un anno e mezzo fa.

Abbiamo un insieme ordinato (a, b. c, d, e, f) di 6 monete di cui una falsa il cui peso vale F mentre le altre 5 pesano V ciascuna. Facciamo un esempio numerico, più facile da seguire, ponendo V=2 e F=3. Ci sono 6 casi possibili:
(C1) (2,2,2,2,2,3)
(C2) (2,2,2,2,3,2)
(C3) (2,2,2,3,2,2)
(C4) (2,2,3,2,2,2)
(C5) (2,3,2,2,2,2)
(C6) (3,2,2,2,2,2).

Definiamo le tre pesate come:
P1=a+b+c
P2=b+e+f
P3=c+d+e
per cui:
P1(C1)=2+2+2=6 e P2(C1)=2+2+3=7 e P3(C1)=2+2+3=6
P1(C2)=2+2+2=6 e P2(C2)=2+3+2=7 e P3(C2)=2+2+3=7
P1(C3)=2+2+2=6 e P2(C3)=2+2+2=6 e P3(C3)=3+2+2=7
P1(C4)=2+2+3=7 e P2(C4)=2+2+2=6 e P3(C4)=2+2+2=7
P1(C5)=2+3+2=7 e P2(C5)=3+2+2=7 e P3(C5)=2+2+2=6
P1(C6)=3+2+2=7 e P2(C6)=2+2+2=6 3 P3(C6)=2+2+2=6

Mettiamo tutto sotto forma di tabella (vedi sotto, con omessi per chiarezza i risultati che davano 6). Nelle tabelle si vede facilmente che V=2 e F=3 e per ogni caso F ha un’unica soluzione S(C), ovvero:
S(C1)=f, S(C2)=e, S(C3)=d, S(C4)=c, S(C5)=b, S(C6)=a

502 Base5 sol. 6 monete.png (41.46 KiB) Visto 1731 volte

[giobimbo]

Purtroppo, la stessa tabella di V=2 e F=3 viene anche ponendo V=2,33333… e F= 1,33333… per cui rifaccio tutto cambiando anche i valori dei pesi a, b, c, … in modo da non avere numeri decimali.
Pongo dunque il peso della moneta vera uguale a 1 mentre quella falsa vale 4, V=1 e F=4. Ci sono 6 casi possibili:
(C1) (1,1,1,1,1,4)
(C2) (1,1,1,1,4,1)
(C3) (1,1,1,4,1,1)
(C4) (1,1,4,1,1,1)
(C5) (1,4,1,1,1,1)
(C6) (4,1,1,1,1,1).

Definiamo le tre pesate come (ho corretto P3):
P1=a+b+c, P2=b+d+e, P3=c+e+f
da cui, caso per caso ricaviamo la tabella sotto in cui ho omesso il segno + e alle monete pesate corrisponde il quadretto giallo (e stavolta ci siamo).

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[giobimbo]

Avevo scritto “Purtroppo” perché avevo capito che bisognasse trovare “anche” il valore di F, quindi in verità lo schema era corretto.
Comunque, come capire se V>F o se F>V? E quale delle monete è quella falsa?
Supponiamo di avere il caso C(1) e sommiamo le tre pesate ottenendo 3+3+6=12. Abbiamo pesato 9 monete e 12/9=1,333. Poniamo V>1,333 (a sinistra) e F>1,333 (a destra) ricavandone le 12 tabelle della figura sotto.

Remake 2.png (21.82 KiB) Visto 1710 volte

Quale tabella presenta la stessa struttura del caso C(1) (cioè la prima tabella in alto nel precedente intervento) che ha la colonna delle pesate con risultati:
3 = piccolo
3 = piccolo
6 = grande?
La prima a destra con F=3>(V=1) e la moneta falsa è la “e”. Siccome C(1)=(1,1,1,1,1,3) la moneta falsa sarà la "3".
Lo stesso procedimento si seguirà per tutti gli altri casi.

[giobimbo]

Per concludere, è saltato fuori che, se P è il numero di pesate, si trova F anche adattando tale schema per P=(3,4,5,…) e m monete, con m=P*(P-1). Un esempio coi primi 3 valori di P nella figura sotto

Base5 algoritmo.png (10.44 KiB) Visto 1702 volte

Ancora, sintetizzando quanto detto prima:
1) Dalle tre pesate P1, P2 e P3 ricavo la tabella T1
2) Dalle 12 tabelle di Fig.1 e Fig.2 ricavo la tabella T2 isomorfa a T1
3) La x-esima colonna di T2 contiene l’elemento F
4) La x-esima colonna di T1 contiene la moneta falsa
5) Se T2 è nella Fig.1 (quella a sinistra) la moneta falsa pesa meno di quella vera
6) Se T2 è nella Fig.2 (quella a destra) la moneta falsa pesa di più di quella vera.

Ringrazio Paolo32 per aver riproposto questo problema, mi ha fatto passare ore piacevoli.