Alcune considerazioni iniziali:
- In questo gioco contano solo come i tre assi sono distribuiti nel mazzo di $\displaystyle{n}$ carte e gli assi sono tra loro indistinguibili: si possono considerare solo $\displaystyle{\binom{n}{3}}$ mazzi distinti per ogni giocatore.
- Alessandro vince se scopre i tre assi prima che Beatrice ne scopra uno.
Alessandro vince al turno $\displaystyle{k}$ se:
- scopre il terzo asso nel turno $\displaystyle{k}$ ---> ha trovato $\displaystyle{2}$ assi nei primi $\displaystyle{k-1}$ turni e il terzo nel turno $\displaystyle{k}$
- Beatrice può trovare o no il primo asso nel turno $\displaystyle{k}$; l'importante è che ne abbia trovati $\displaystyle{0}$ nei primi $\displaystyle{k-1}$ turni
Il numero totale di vincite di Alessandro al turno $\displaystyle{k}$, $\displaystyle{N_{A}(k)}$, è pari al numero di modi in cui si possono distribuire due assi in $\displaystyle{k-1}$ modi moltiplicato il numero di modi in cui Beatrice può trovare 0 assi nei primi $\displaystyle{k-1}$ turni, $\displaystyle{N_{B}(k-1)}$.
La moltiplicazione si può fare perchè le estrazioni di carte dai due mazzetti sono eventi indipendenti.
Andiamo a calcolare:
$\displaystyle{N_{A}(k)}$ = $\displaystyle{\binom{k-1}{2}}$. Questo numero vale 0 quando $\displaystyle{k<3}$: non si possono trovare 3 assi se le carte girate sono meno di tre!
$\displaystyle{N_{B}(k-1)}$ = anche al numero di modi di distribuire i tre assi nelle $\displaystyle{n-(k-1)}$ carte rimanenti = $\displaystyle{\binom{n+1-k}{3}}$.
Questo numero vale 0 quando $\displaystyle{n+1-k<3}$: non si possono inserire 3 assi nelle carte rimanenti se queste sono meno di tre!
Sommando su $\displaystyle{k}$ si ottengono il numero di modi in cui Alessandro può vincere:
$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}N_{A}(k)*N_{B}(k-1)} = \displaystyle{\sum_{k=3}^{n-2}N_{A}(k)*N_{B}(k-1)} = \displaystyle{\sum_{k=3}^{n-2}\binom{k-1}{2}\binom{n+1-k}{3}}$;
wolframalpha dice che il risultato è $\displaystyle{\frac{n(n^5-9n^4+25n^3-15n^2-26n+24)}{720}}$
Questo valore diviso il prodotto di quanti mazzi distinti può avere ogni giocatore da la probabilità di vittoria di Alessandro = $\displaystyle{\frac{n(n^5-9n^4+25n^3-15n^2-26n+24)}{720}*\displaystyle{\frac{1}{\binom{n}{3}\binom{n}{3}}}}$
calcolato per $\displaystyle{n=12}$ fornisce $\displaystyle\frac{39}{1100}$
).