Il poligono misterioso

[franco]

In una circonferenza di centro O e raggio 5 cm, traccio i vertici di un poligono regolare.
Scelgo a caso 3 di questi vertici a formare il triangolo PQR.
La probabilità di ottenere un triangolo rettangolo è pari alla probabilità di ottenere un triangolo acutangolo.

1. Dare il nome del poligono tracciato
2. Determinare la probabilità che il triangolo ottenuto sia ottusangolo.

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G1950

Zig trace les sommets d’un polygone régulier sur un cercle de rayon 5 cm et de centre O et choisit au hasard trois d’entre eux P,Q,R pour former le triangle PQR .La probabilité qu’il obtienne un triangle rectangle est égale à la probabilité qu’il obtienne un triangle acutangle.
Q1 Donner le nom du polygone tracé par Zig.
Q2 Déterminer la probabilité qu’il obtienne un triangle obtusangle.

[NothIng]

Considero un poligono regolare di $m$ angoli.

poligono regolare

polig.gif (19.14 KiB) Visto 2223 volte

1) Prime considerazioni facili.
Il primo vertice di un triangolo può essere scelto tra gli $m$ disponibili, il secondo tra gli $m-1$ rimanenti e il terzo tra gli ultimi $m-2$: iI numero di triangoli totali è $\displaystyle T_{totali} = \frac{m(m-1)(m-2)}{6}$
L'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro quindi tutti i triangoli che hanno due vertici che stanno sul diametro sono rettangoli. Questo implica che m sia un numero pari.
Nella precedente figura il diametro sta sulla linea verde e individua due vertici $\{1, 1+m/2\}$, tutti gli altri $m-2$ vertici formano altrettanti triangoli rettangoli, in totale ci sono $\displaystyle T_{rettangoli} = \frac{m(m-2)}{2}$

2) Qualche difficoltà in più la ho avuta a contare quanti triangoli ottusangoli ci sono.
Alla fine ho visto che fissando un vertice in $1$ il triangolo è ottusangolo se gli altri 2 vertici $j$ e $k$ stanno uno a destra e uno a sinistra dal diametro e se sono lontani più di $\displaystyle{\frac{m}{2}}$ vertici. In formula devono essere soddisfatte le disequazioni:
$\displaystyle{
\begin{cases}
\displaystyle{1<j<1+\frac{m}{2}<k\leq m} \\
\displaystyle{k-j>\frac{m}{2}}
\end{cases}
}
$
Per $j=2$ ci sono $\displaystyle{\frac{m}{2}-2}$ possibilità: $k$ = $\displaystyle{\frac{m}{2}+3}$; $\displaystyle{\frac{m}{2}+4}$; ...; $\displaystyle{m}$
Per $j=3$ ci sono $\displaystyle{\frac{m}{2}-3}$ possibilità: $k$ =$\displaystyle{\frac{m}{2}+4}$; ...; $\displaystyle{m}$
...
Per $j=\displaystyle{\frac{m}{2}}$ c'è solo $1$ possibilità: $k$ =$\displaystyle{m}$
Il totale delle possibilità è $\frac{1}{2} (\frac{m}{2}-1) (\frac{m}{2}-2) = \frac{(m-2)(m-4)}{8}$
Il primo vertice può essere scelto tra gli $m$ vertici quindi $\displaystyle T_{ottusangoli} = \frac{m(m-2)(m-4)}{8}$

3) Il numero di triangoli acutangoli si può calcolare per differenza: $\displaystyle T_{acutangoli} = T_{totali} - T_{rettangoli} - T_{ottusangoli}$

4) La probabilità di avere un triangolo acutangolo è pari a $\displaystyle{ \frac{T_{acutangoli}}{T_{totali}}}$ e per le ipotesi del problema si ottiene $\displaystyle T_{acutangoli} = \displaystyle T_{rettangoli}$
da cui $\displaystyle T_{totali} - T_{ottusangoli} = \displaystyle 2 T_{rettangoli}$ che ha per soluzione $m=16$, pari come ipotizato, si tratta quindi di un esadecagono.

5) La probabilità di avere un triangolo ottusangolo è pari a $\displaystyle{ \frac{T_{ottusangoli}}{T_{totali}}}$ e per $m=16$ vale $\displaystyle\frac{3}{5}$

P.s. Per i miei ragionamenti ho riciclato del materiale che avevo usato per questo post

[franco]

Considero un poligono regolare di $m$ angoli.
...

Ottimo, direi ...

In realtà, il problema originale francese proponeva anche una terza domanda:
Pour les plus courageux : déterminer l’espérance mathématique du carré de la distance de O à l’orthocentre du triangle PQR
3. Determinare la speranza matematica del quadrato della distanza fra il centro O della circonferenza e l'ortocentro del triangolo PQR

Non l'avevo inserita nel post perchè personalmente ho un po' di confusione sul concetto di "speranza matematica"

... però credo che il coraggio in giro non manchi quindi, chi volesse, può provare a cimentarsi ...