tre fratelli

[newdelfo]

mio fratello, mia sorella, ed io siamo nati a giugno 51, ottobre 53 e settembre 54. Vi anticipo che nessuno è nato il primo o l' ultimo giorno del mese. Chiedo: è accaduto che, per qualche settimana o qualche mese, abbiamo avuto tutti una età esprimibile in base10 con un numero primo? Potrebbe capitare ancora? Si può dimostrare che i periodi "buoni" sono solo i due già trascorsi?

[franco]

Inventando i nomi, diciamo che:
Bruno è nato a Giugno 1951
Carla a Ottobre 1953
Delfo a Settembre 1954

Consideriamo anche che l'età si intenda "per anni compiuti" (quindi, per capirci, si hanno 0 anni fino al primo compleanno).

Le differenze di età fra i tre fratelli sono:
B-D = 3 fra settembre (data del compleanno di Delfo) e giugno (data del compleanno di Bruno)
B-D = 4 fra giugno (data del compleanno di Bruno) e settembre (data del compleanno di Delfo)
C-D = 0 fra settembre (data del compleanno di Delfo) e ottobre (data del compleanno di Carla)
C-D = 1 fra ottobre (data del compleanno di Carla) e settembre (data del compleanno di Delfo)

Quindi, in conclusione, le tre età si possono esprimere come
B=D+3 C=D D fra settembre (data del compleanno di Delfo) e ottobre (data del compleanno di Carla)
B=D+3 C=D+1 D fra ottobre (data del compleanno di Carla) e giugno (data del compleanno di Bruno)
B=D+4 C=D+1 D fra giugno (data del compleanno di Bruno) e settembre (data del compleanno di Delfo)

D, D+1 e D+4 non possono mai essere contemporaneamente primi (uno fra B e C sarebbe pari e superiore a D)
D, D+1 e D+3 possono essere contemporaneamente primi solo per D=2 (unico numero primo pari) quindi mi sento di dire che ci siano stati solo due periodi (consecutivi) con tutte le età prime:
fra settembre 1956 (data del compleanno di Delfo) e ottobre 1956 (data del compleanno di Carla) -> D=2 C=2 B=5
fra fra ottobre 1956 (data del compleanno di Carla) e giugno 1957 (data del compleanno di Bruno) -> D=2 C=3 B=5

Salvo errori

[newdelfo]

Bellissimo ! Nel testo avevo sbagliato una data. il mezzano è nato a ottobre del 1952, non 53 ! Il ragionamento viene leggermente diverso, divenendo possibile anche la terna 3-5-7 nell' estate del 1958. La domanda residua è: esistono altre terne di tre primi dispari consecutivi?

[franco]

Con le date corrette, i periodi di età prima contemporanea sono nella forma
B=D+3 C=D+1 D --> B=5 C=3 D=2
B=D+4 C=D+2 D --> B=7 C=5 D=3

Evidentemente (per il solito discorso della non parità dei primi) eventuali ulteriori terne saranno necessariamente nella forma D, D+2, D+4.
Si tratterebbe quindi di due coppie consecutive di numeri primi gemelli.

Sappiamo che i numeri primi gemelli > 3 sono esprimibili nella forma (6n-1, 6n+1) con n intero.
Per il l'età di Carla (la mezzana) dovrebbe quindi risultare C=6n+1=6m-1 ---> m=n+1/3
Ne consegue che n e m non possono essere contemporaneamente interi!

ciao

Franco