Ognuno come gli va

[Bruno]

Fonte: Masahiro Matsuno

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[Quelo]

In tutte e due le soluzioni al numeratore c'è il numero 15

[NothIng]

Primo quesito:

1) $BC^2$ = $BE^2$ + $EC^2$ = ($BA^2$ + $AE^2$) + ($ED^2$ + $DC^2$) ---> $4^2$ = $AE^2$ + $ED^2 + 2$ ---> $AE^2$ + $ED^2$ = $14$
2) $AE$ + $ED$ = $AD$ = $4$
Risolvendo il sistema: $AE$ = $2-\displaystyle \sqrt{3}$ ; $ED$ = $2+\displaystyle \sqrt{3}$

3)$\displaystyle {X = arctg\frac{AE}{AB} = arctg\frac{2-\sqrt{3}}{1}} = \frac{\pi}{12}=15°$

[NothIng]

Secondo.

Per il teorema del coseno:
1)$\displaystyle{BC^2 = BA^2 + AC^2 - 2*BA*AC*cos(60+60) = 9 + 25 + 2*15*0.5}$ ---> $\displaystyle{BC = 7 = BD + DC}$
2)$\displaystyle{BA^2 + AD^2-2*3*AD*0.5 = BD^2}$ ---> $\displaystyle{9 + AD^2-3*AD = BD^2}$
3)$\displaystyle{AC^2 + AD^2-2*5*AD*0.5 = DC^2}$ ---> $\displaystyle{25 + AD^2-5*AD = DC^2}$

Risolvendo il sistema: $\displaystyle{BD = \frac{21}{8}}$; $\displaystyle{DC = \frac{35}{8}}$; $\displaystyle{AD = \frac{15}{8}}$

[Maurizio59]

Per il secondo problema io ho usato un metodo molto veloce, utilizzando l'uguaglianza:
Area(ABC) = Area(ABD) + Area(ACD)
Abbiamo perciò la relazione:
AB*AC*sin(120°) = AB*AD*sin(60°) + AC*AD*sin(60°)
Essendo sin(120°) = sin(60°) da essa si ricava:
AD = AB*AC/(AB + AC) = 15/8.

[Bruno]

Ottimo, Nothing e Maurizio.
Quando ho visto questo problema, ho pensato di risolverlo come mostra il disegno che allego.
Sono comunque dell'idea che questo genere di problemi (per quanto semplici) possano avere altri approcci meritevoli.

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[Quelo]

Soluzione alternativa per il Problema 1

ABE e CDE sono simili

$AB:DE=AE:CD$
$\begin{cases}
AE \cdot DE=1 \\
AE+DE=4
\end{cases}$

Risolvendo

$ X=15°$

[Bruno]

Ottimo, Sergio

Aggiungendo qualche linea, punto e rimarcando angoli, tutto in modo riconoscibile, si può anche vedere che...

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[Gianfranco]

Grazie Bruno per il bel problema e bravissimi tutti per le ottime e varie soluzioni.
Posto anch'io la mia soluzione anche se riprende cose già dette, in parte.

1. Avevo iniziato con pensieri trigonometrici di questo tipo (saltando alcuni passaggi già spiegati nelle precedenti risposte).
Abbiamo un triangolo rettangolo in cui il rapporto tra l'ipotenusa e l'altezza ad essa relativa è 4:1.
La domanda è: qual è il rapporto tra i cateti a:b?
Tale rapporto è la tangente dell'angolo x, da cui si ricava la sua ampiezza.

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2. Però, il pensiero euclideo ispirato da Bruno attira di più, come esercizio spirituale.
Perciò immaginiamo il triangolo inscritto in una circonferenza di centro O e raggio 2.
Tracciamo il raggio EO.
L'angolo al centro EOB è doppio del nostro angolo x alla circonferenza.

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OK, facciamo una simmetria assiale e otteniamo il triangolo EOE' che è evidentemente equilatero, quindi ha gli angoli interni di 60°
Il nostro angolo x è la metà della metà di 60°, cioè 15°

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Salvo erori@ommisioni.