Sette vertici di un cubo sono etichettati con 0, mentre il vertice rimanente è etichettato con 1.
È permesso modificare le etichette con la regola seguente:
Regola. Scegli un lato del cubo e aggiungi 1 alle etichette di entrambi i vertici connessi da quel lato.
Domanda. Ripetendo questa operazione più volte, è possibile rendere tutte le etichette divisibili per 3?
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Nota. E' molto più semplice di quello che sembra.
Tratto da StackExchange-Mathematics.
Nota. E' molto più semplice di quello che sembra.
E allora proviamoci...
Per prima cosa coloro in verde uno spigolo si e uno no
cubo colorato
cubo_colorato.png (18.48 KiB) Visto 3220 volte
Se tutte le etichette fossero divisibili per 3 si avrebbero "somma etichette verdi" e "somma etichette bianche" multiple di 3 così come anche la loro differenza. In formula
$(\sum \text{etichette verdi} - \sum \text{etichette bianche}) \text{ mod 3} = 0$
Con la regola di modifica delle etichette si incrementa sempre di 1 sia uno spigolo bianco che uno verde indipendentemente dal lato scelto:
$(\sum \text{etichette verdi} - \sum \text{etichette bianche})$ è costante e vale sempre 1 --> 1 mod 3 è sempre diverso da 0 ---> non è possibile endere tutte le etichette divisibili per 3
Partendo da questo stato invece è possibile trovare una soluzione:
cubo colorato con soluzione
cubo_con_soluzione.png (18.26 KiB) Visto 3220 volte
Riprendo la soluzione di Quelo (esplicitando gli zeri)
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.01.png (43.55 KiB) Visto 3142 volte
l'ultimo passaggio consiste nella sostituzione delle somme con il loro modulo $3$ che chiameremo triparità.
Nello schema di partenza la triparità dei due sottogruppi di vertici è la stessa per cui assumiamo che una soluzione debba esistere.
Per cercare una soluzione partiamo dal vertice "esterno" in alto a destra la cui triparità è $1$ e aggiungiamo il complemento a $3$ a uno due spigoli esterni uscenti
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.02.05.png (22.71 KiB) Visto 3142 volte
Aggiungiamo il complemento della triparità del vertice "esterno" in basso a destra che è ora $2$ all'altro spigolo esterno uscente da vertice stesso
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.02.06.png (22.24 KiB) Visto 3142 volte
ottenendo due vertici adiacenti di triparità $1$ per correggere i quali basta modificare lo spigolo che li congiunge
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.02.07.png (22.49 KiB) Visto 3142 volte
In sintesi
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.02.08.png (22.6 KiB) Visto 3142 volte
Aggiungo solo che ad ogni passo la scelta dello spigolo da modificare è indifferente essendo essi equivalenti per simmetria...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Consideriamo le simmetrie del cubo: se partiamo da un vertice osserviamo che gli altri vertici si trovano da esso ad una distanza $1$, $2$ o $3$
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.03.png (34.25 KiB) Visto 3009 volte
ovvero questi due grafi sono equivalenti
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.04.png (18.6 KiB) Visto 3009 volte
purché sia $b=\sum b_i$ e $c=\sum c_i$ ($a$, $b$, $c$ e $d$ intesi come resto modulo $3$).
Procediamo azzerando il primo vertice
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.09.01.png (26.97 KiB) Visto 3009 volte
Proseguiamo con i secondi
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.09.02.png (29.46 KiB) Visto 3009 volte
Indi con i terzi
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.15.03.png (31.13 KiB) Visto 3009 volte
cosicché otteniamo
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.15.04.png (24.27 KiB) Visto 3009 volte
Perché anche l'ultimo vertice sia $0$ bisogna che sia
$-a+b-c+d\equiv 0 \pmod 3$
cioè
$a+c\equiv b+d \pmod 3$
Il ragionamento è più immediato sul grafo equivalente
[A25-59] Ancora numeri sui vertici di un cubo.16.png (33.33 KiB) Visto 3009 volte
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
