Il viaggio della formica

[Maurizio59]

Per questo problema ho preso spunto dal sito Diophante.fr (I 174).

Una formica deve raggiungere il formicaio posto al vertice opposto di un quadrato di lato 15 m.
Il terreno da attraversare è diviso in nove quadrati di lato 5 m come in figura.
.

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La velocità della formica è di 5 m/ora nel terreno con vegetazione (verde) e di 6 m/ora nel terreno privo di vegetazione (giallo).
Qual è il tempo minimo necessario alla formica per raggiungere il formicaio?

[Gianfranco]

Prima approssimazione: tempo=4,09 ore.

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[Quelo]

lumacaxy.png (35.63 KiB) Visto 8732 volte

Partendo dalla soluzione di Gianfranco mi esce questa formula

$\displaystyle t=2 \left[ \frac{\sqrt{25+y^2}}{5} + \frac{\sqrt{(5-y)^2+x^2}}{6} + \frac{\sqrt{2}(5-x)}{10} \right]$

Il minimo vale 4.09119 e si trova per (x, y)≈(4.07864, 2.45652)

SE&O

[Gianfranco]

Esatto, Quelo! Ho usato proprio quelle variabili e quella funzione.
Avevo iniziato con la seguente ipotesi che porta a un tempo minimo di circa 4,095 ore, ma poi mi è venuto il sospetto che si potesse fare meglio.

lumaca2.png (27.85 KiB) Visto 8714 volte

[Maurizio59]

Molto bene ad entrambi.

I valori esatti delle variabili sono:
$$x=\frac{15\sqrt{14}}{7} -\frac{15\sqrt{58}} {29}=4.0786 \qquad \qquad \qquad \qquad y=\frac{5\sqrt{203}}{29}=2.4565$$ Il tempo minimo in ore diventa: $$t_{min}=\sqrt2+\frac{\sqrt7}{3}+\frac{\sqrt{29}}{3}=4.0911856 $$

[Quelo]

Vediamo se ho fatto bene

La nostra formula t(x,y) descrive una superficie, nei punti di massimo e minimo si annullano le derivate.

Calcolo le due derivate (mi faccio aiutare da WA) ed ottengo un sistema di due equazioni in due incognite

$\begin{cases}
\displaystyle \frac{d t(x,y)}{dx}=\frac{x}{3\sqrt{x^2+(5-y)^2}}-\frac{\sqrt{2}}{5}=0\\
\displaystyle \frac{d t(x,y)}{dx}=\frac{2y}{5 \sqrt{25+y^2}}-\frac{(5-y)}{3\sqrt{x^2+(5-y)^2}}=0
\end{cases}$

$\begin{cases}
\displaystyle \frac{x}{3\sqrt{x^2+(5-y)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{5}\\
\displaystyle \frac{2y}{5\sqrt{25+y^2}}=\frac{(5-y)}{3\sqrt{x^2+(5-y)^2}}
\end{cases}$

elevo tutto al quadrato (poi scarterò i risultati incoerenti)

$\begin{cases}
\displaystyle \frac{x^2}{9(x^2+(5-y)^2)}=\frac{2}{25}\\
\displaystyle \frac{4y^2}{25(25+y^2)}=\frac{(5-y)^2}{9(x^2+(5-y)^2)}
\end{cases}$

dalla prima ricavo

$\displaystyle 9(x^2+(5-y)^2)=\frac{25x^2}{2}$

e lo sostituisco nella seconda, poi sempre dalla prima ricavo

$\displaystyle \frac{9x^2+9(5-y)^2}{x^2}=\frac{25}{2}$

$\displaystyle x^2=\frac{18(5-y)^2}{7}$

e lo sostituisco nella seconda

$\begin{cases}
\displaystyle x^2=\frac{18(5-y)^2}{7}\\
\displaystyle \frac{4y^2}{25(25+y^2)}=\frac{(5-y)^2}{\frac{25}{2}\frac{18(5-y)^2}{7}}
\end{cases}$

da cui

$\displaystyle \frac{625+25y^2}{4y^2}=\frac{225}{7}$

$\displaystyle \frac{625}{4y^2}=\frac{225}{7}-\frac{25}{4}$

$\displaystyle y=5\sqrt{\frac{7}{29}}=y\approx2.45651842220259$

$\displaystyle x=30\sqrt{\frac{18}{203}-\frac{1}{\sqrt{203}}}\approx4.07864427158105$

$\displaystyle t=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{7}}{3}+\frac{\sqrt{29}}{3}\approx4.09118560177279$

[Maurizio59]

Bravo Quelo.
Ora la soluzione è completa e molto dettagliata.

[Maurizio59]

Ecco il problema originale: www.diopnante.fr (I174) [***]

Gara di velocità. Secondo round
A sfidarsi sono un ragno e una formica. Il campo di gara è lo stesso del precedente problema (9 quadrati di 5 metri di lato) come in figura.
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Le velocità del ragno sono 144 cm/min nel prato (verde) e 200 cm/min sulla ghiaia (giallo).
Le velocità della formica sono 125 cm/min sul prato (verde) e 250 cm/min sulla ghiaia (giallo).
Chi arriverà per primo alla meta?