Duathlon (ex Biathlon)

[franco]

Questo non è dificile:

Una gara di biathlon prevede un percorso come quello indicato nella figura:
4 km sulla riva di una spiaggia in direzione Est e 1 km in mare in direzione Nord.


Naturalmente non c'è l'obbligo di seguire esattamente questo percorso:
sapendo che la vostra velocità in corsa è di 6 km/h e a nuoto è di 2 km/h, a che punto del percorso risulta più conveniente gettarsi in acqua?

ciao

[Quelo]

Il punto dovrebbe essere a $4 - \Large\frac{\sqrt{2}}{4}$ km da P

SE&O

[Quelo]

[franco]

L'avevo detto che non era difficile

[delfo52]

non ho ritrovato ne tracce nell'archivio di B5; ma ricordo che se tempo addietro si parlò di un problema equivalente, o quasi.
Riguardava un treno nella prateria, una stazione e un ranch ad una certa distanza ad angolo retto dalla stazione; e data la velocità non eccessiva del mezzo, era possibile scendere al volo per completare il viaggio in diagonale.
Anche questo problema mi sembra risalire a martin Gardner.....
La simulazione del treno può essere resa più complessa immaginando che la velocità decresca in modo uniforme, e non istantaneo

[Quelo]

Propongo una variante inventata sul momento: in mare è presente una corrente verso riva (perpendicolare) di 1 km/h, mentre la nostra velocità in mare è di 3 km/h in assenza di corrente (per cui se nuotassimo verso il largo perpendicolarmente alla riva avremo una velocità reale di 2 km/h)
Qual'è il nuovo punto ottimale ?

[franco]

Variante interessante anche se, dal punto di vista "realistico" mi lascia qualche dubbio :come fà la corrente a spingere verso terra?

[archimede]

direi che è duathlon e non biathlon

[franco]

Mi sa' che hai ragione, il biathlon è quello con gli sci da fondo e la carabina

[0-§]

Il punto dovrebbe essere a $4 - \Large\frac{\sqrt{2}}{4}$ km da P

Io non riesco a far tornare i calcoli... se qualcuno può postare la sua soluzione...

[Quelo]

Indichiamo con x la distanza in meno percorsa sulla spiaggia, per cui $s_1=4-x$ sarà la distanza di corsa e $s_2=\sqrt{x^2+1}$ sarà la distanza di nuoto. Dobbiamo trovare il minimo della funzione

$t=t_1+t_2=\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}=\frac{4-x}{6}+\frac{\sqrt{x^2+1}}{2}$

per farlo calcoliamo la sua derivata e troviamone le radici

$\frac{dt}{dx}=\frac{3x-\sqrt{x^2+1}}{6\sqrt{x^2+1}}$

$x=\frac{\sqrt{2}}{4}$

SE&O

[Quelo]

[Quelo]

Propongo una variante inventata sul momento: in mare è presente una corrente verso riva (perpendicolare) di 1 km/h, mentre la nostra velocità in mare è di 3 km/h in assenza di corrente (per cui se nuotassimo verso il largo perpendicolarmente alla riva avremo una velocità reale di 2 km/h)
Qual'è il nuovo punto ottimale ?

Nessuno si prodiga ?

Un aiuto, il nuovo punto si sposta di un buon 200 metri.

[Pasquale]

Dai miei calcoli, salvo errori, risulta una differenza di m.180,97 rispetto alla tua precedente x di 353,55 metri.
Quindi x = m.534,52, con una velocità reale in mare di $v_2=2,828427$ Km/h.
Tempo impiegato 58' 42".

[Quelo]

La velocità in mare mi sembra un po' elevata, anzi secondo i miei calcoli è la massima possibile in tali condizioni. In questo caso però ci si troverebbe a nuotare lungo la riva senza potersi allontanare (la componente di velocità lungo la spiaggia è pari alla corrente).

[Pasquale]

Si è vero, provo a correggere con i seguenti dati approssimati:

x = 567 metri

$\text tempo totale = 1^h 7^m 19^s$

$v_2 = 2,089$Km/h

angolo di nuotata rispetto alla riva = 69°,911 corretto dalla corrente sfavorevole in 60°,449

[Quelo]

Ottimo Pasquale !

La soluzione è analoga al caso precedente solo che qui dobbiamo considerare l'effetto della corrente sulla velocità di nuoto.

Consideriamo la velocità come un vettore e scomponiamola nelle sua componenti parallela alla spiaggia $v_s$ e perpendicolare $v_m$. Per ottenere la velocità potenziale di 3 km/h dobbiamo aggiungere a $v_m$ la corrente dell'acqua, l'equazione da risolvere sarà:
$(v_m+1)^2+{v_s}^2=9$
Se indichiamo con y la distanza [#1] e con v la velocità di nuoto, possiamo calcolare le sue componenti in funzione di x e y [#2].
Esplicitiamo l'equazione in v [#3] e sostituiamo y [#4]
Risolviamo in x [#5], ci interessa solo la soluzione positiva, e calcoliamo il tempo [#6]
Ricavando le radici della derivata [#7] otteniamo il punto x per t minimo [#8]