Triangoli per la maestra Ubalda

[panurgo]

Diamole questo

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[Gianfranco]

Diamole questo

Ottimo, Panurgo!
A quanto pare, il triangolo non rettangolo, non isoscele più piccolo che ha tre basi e tre altezze intere è (35; 75; 100)
---
Ho trovato un po' di tempo per scrivere un programmino, che riporto qui sotto.

Codice: Seleziona tutto

!'Trova tutti i triangoli con lati interi compresi tra minimo e massimo
!'che abbiano almeno un'altezza intera.

!'Fuzione che calcola l'area dati i tre lati
FUNCTION areat(a1,a2,a3)
   LET p=(a1+a2+a3)/2
   LET aq=p*(p-a1)*(p-a2)*(p-a3)
   IF aq>=0 THEN LET areat=SQR(aq) ELSE LET areat=-1
END FUNCTION
 
LET minimo=1
LET massimo=20

FOR a1=minimo TO massimo
   FOR a2=a1 TO massimo
      FOR a3=a2 TO massimo
       
         LET s=areat(a1,a2,a3)
         IF s>0 AND s=INT(s) THEN
         !'Identifica tipo di triangolo
         !'non può essere isoscele e rettangolo con tre lati interi
            LET t$=""
            IF a1^2+a2^2=a3^2 THEN LET t$=" rettangolo"
            IF a1=a2 OR a2=a3 THEN LET t$=" isoscele"
             
            !'Trova, se ci sono, le altezze intere            
            LET h1=2*s/a1
            LET h2=2*s/a2
            LET h3=2*s/a3
            IF h1=INT(h1) THEN PRINT "Lati:";a1;a2;a3;"(base:";a1;"; altezza:";h1;"; area:";s;")";t$
            IF h2=INT(h2) THEN PRINT "Lati:";a1;a2;a3;"(base:";a2;"; altezza:";h2;"; area:";s;")";t$
            IF h3=INT(h3) THEN PRINT "Lati:";a1;a2;a3;"(base:";a3;"; altezza:";h3;"; area:";s;")";t$
         END IF
      NEXT a3
   NEXT a2
NEXT a1
 
PRINT "FINE"
END

---
Mi dà i risultati seguenti, con lati compresi tra 1 e 20.

Lati: 3 4 5 (base: 3; altezza: 4; area: 6) rettangolo
Lati: 3 4 5 (base: 4; altezza: 3; area: 6) rettangolo

Lati: 4 13 15 (base: 4; altezza: 12; area: 24)

Lati: 5 5 6 (base: 6; altezza: 4; area: 12) isoscele

Lati: 5 5 8 (base: 8; altezza: 3; area: 12) isoscele

Lati: 5 12 13 (base: 5; altezza: 12; area: 30) rettangolo
Lati: 5 12 13 (base: 12; altezza: 5; area: 30) rettangolo

Lati: 6 8 10 (base: 6; altezza: 8; area: 24) rettangolo
Lati: 6 8 10 (base: 8; altezza: 6; area: 24) rettangolo

Lati: 7 15 20 (base: 7; altezza: 12; area: 42)

Lati: 8 15 17 (base: 8; altezza: 15; area: 60) rettangolo
Lati: 8 15 17 (base: 15; altezza: 8; area: 60) rettangolo

Lati: 9 10 17 (base: 9; altezza: 8; area: 36)

Lati: 9 12 15 (base: 9; altezza: 12; area: 54) rettangolo
Lati: 9 12 15 (base: 12; altezza: 9; area: 54) rettangolo

Lati: 10 10 12 (base: 12; altezza: 8; area: 48) isoscele

Lati: 10 10 16 (base: 16; altezza: 6; area: 48) isoscele

Lati: 10 13 13 (base: 10; altezza: 12; area: 60) isoscele

Lati: 11 13 20 (base: 11; altezza: 12; area: 66)

Lati: 12 16 20 (base: 12; altezza: 16; area: 96) rettangolo
Lati: 12 16 20 (base: 16; altezza: 12; area: 96) rettangolo

Lati: 13 14 15 (base: 14; altezza: 12; area: 84)

Lati: 15 15 18 (base: 18; altezza: 12; area: 108) isoscele

Lati: 16 17 17 (base: 16; altezza: 15; area: 120) isoscele
---
Appena trovo un altro po' di tempo, glieli faccio disegnare.

[Maurizio59]

...
A quanto pare, il triangolo non rettangolo, non isoscele più piccolo che ha tre basi e tre altezze intere è (35; 75; 100)
---

Questo è un triangolo ottusangolo.
Io ho trovato un triangolo acutangolo con tutti i lati minori di 1000 (975; 845; 260).

L'area è 101400.

[panurgo]

Ti suggerisco di verificare il tuo programma perché il triangolo con quei tre lati è

TPLMU.14.640x262.png (15.63 KiB) Visto 15608 volte

[panurgo]

Per ottenere un triangolo isoscele di lati interi e altezza intera (quando parliamo di altezza in un triangolo isoscele senza specificare quale di solito intendiamo quella relativa al lato diverso) la Maestra Ubalda non deve fare altro che prendere un qualsiasi Triangolo Pitagorico (un triangolo i cui lati formano una Terna Pitagorica) e rifletterlo su uno dei cateti

TPLMU.12.480x480.png (14.6 KiB) Visto 15598 volte

Se vuole un triangolo scaleno deve trovare due Triangoli Pitagorici con un cateto congruente e sommare o sottrarre il minore dal maggiore

TPLMU.13.480x480.png (26.39 KiB) Visto 15598 volte

Questa è una condizione sufficiente: resta da vedere se è possibile trovare triangoli del genere che non sono somma o differenza di due Triangoli Pitagorici.

P.S.: per avere un triangolo con lati ed altezze interi basta che sia contemporaneamente somma e/o differenza di tre coppie di Triangoli Pitagorici. Con i tuoi numeri, $35$, $75$ e $100$,

TPLMU.11.520x800.png (37.53 KiB) Visto 15598 volte

[Gianfranco]

Grazie Panurgo e Maurizio per i notevoli sviluppi!
Avevo postato questo problema come poco più di una battuta umoristica ma grazie a voi ha mostrato aspetti molto interessanti!
Da esplorare questa osservazione di Panurgo:

Questa è una condizione sufficiente: resta da vedere se è possibile trovare triangoli del genere che non sono somma o differenza di due Triangoli Pitagorici.

---
Qui, però, vorrei porre una domanda: ho palato superficialmente di "triangolo più piccolo" che ha una determinata caratteristica. Ma poi mi sono chiesto: cosa significa "triangolo più piccolo"? Esiste un modo per "ordinare" i triangoli dal più piccolo al più grande?
Per esempio, ho trovato due triangoli (scaleni, acutangoli come richiede Maurizio) forse "più piccoli" del primo triangolo di Panurgo, che hanno tre basi e tre altezze intere.
Come si può fare per stabilire quale dei due è il più piccolo?
Vedi figure.

tria1.png (56.97 KiB) Visto 15571 volte

tria2.png (67.35 KiB) Visto 15571 volte

[Maurizio59]

---
Qui, però, vorrei porre una domanda: ho palato superficialmente di "triangolo più piccolo" che ha una determinata caratteristica. Ma poi mi sono chiesto: cosa significa "triangolo più piccolo"? Esiste un modo per "ordinare" i triangoli dal più piccolo al più grande?

Io li ordinerei in funzione dell'area.

...
Per esempio, ho trovato due triangoli (scaleni, acutangoli come richiede Maurizio) forse "più piccoli" del primo triangolo di Panurgo, che hanno tre basi e tre altezze intere.
Come si può fare per stabilire quale dei due è il più piccolo?
...

Il primo triangolo è uguale a quello di Panurgo ma è "ridotto ai minimi termini" (lunghezze divise per 4).
La sua area è 292500. L'area del secondo triangolo è 354900.

[Quelo]

Ubalda82500.png (60.64 KiB) Visto 15565 volte

Ubalda101400.png (58.73 KiB) Visto 15565 volte

Scaleni, ottusangoli, non simili a {35,75,100}
Sono comunque somma o sotrazione di terne pitagorighe

I più piccoli acutangoli sono quelli trovati da Gianfranco

(Potevo non fare un programma che cercava tutti questi triangoli?)

Codice: Seleziona tutto

[lati] [altezze] [angoli] area
T1: [35, 75, 100] [60, 28, 21] [16.26, 36.87, 126.87] 1050
T2: [260, 845, 975] [780, 240, 208] [14.25, 53.13, 112.62] 101400
T3: [275, 625, 750] [600, 264, 220] [20.61, 53.13, 106.26] 82500
T4: [625, 975, 1000] [936, 600, 585] [36.87, 69.39, 73.74] 292500
T5: [845, 910, 975] [840, 780, 728] [53.13, 59.49, 67.38] 354900

Vi ho messo anche gli angoli, notiamo le seguenti coincidenze:
T1a + T4c = 90
T1b = T4a
T1c - T1b = 90
T1b + T2b = 90
T1c + T2b = 180
T2b = T3b = T5a
T2c + T5c = 180
T3a + T4b = 90
T3c - T1a = 90
T3c + T4c = 180

[Gianfranco]

Io li ordinerei in funzione dell'area.

Grazie per le osservazioni.
Per quel che riguarda l'ordinamento dei triangoli, esistono triangoli di area data con lati di lunghezze illimitatamente grandi.
Io avevo pensato alla grandezza di una scatola che può contenere il triangolo. E questa potrebbe essere la circonferenza circoscritta. Si potrebbero ordinare per "grandezza" i triangoli in base al raggio (o diametro) della circonferenza circoscritta(?)

[panurgo]

Questa è una condizione sufficiente: resta da vedere se è possibile trovare triangoli del genere che non sono somma o differenza di due Triangoli Pitagorici.

TPLMU.20.640x320.png (16.45 KiB) Visto 15523 volte

Consideriamo il triangolo in figura con $a,\,b,\,c,\,h\in\mathbb{N}$: la tesi che intendiamo dimostrare è

$a,\,b,\,c,\,h\in\mathbb{N}\quad\Longrightarrow\quad x,\,a-x\in\mathbb{N}$

Scriviamo

$h^2=c^2-x^2=b^2-(a-x)^2$

da cui ricaviamo facilmente

$\displaystyle x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}$

Ma è

$\displaystyle x=\sqrt{c^2-h^2}=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}$

cioè $x$ è la radice di un numero naturale ed è razionale in quanto rapporto di numeri naturali. Dato che la radice di un numero naturale è naturale se il numero è un quadrato perfetto ed è irrazionale altrimenti, la tesi segue. Q.E.D.

[Quelo]

Io avevo pensato alla grandezza di una scatola che può contenere il triangolo. E questa potrebbe essere la circonferenza circoscritta. Si potrebbero ordinare per "grandezza" i triangoli in base al raggio (o diametro) della circonferenza circoscritta(?)

Ho fatto un esperimento, generando dei triangoli casuali e ordinandoli rispettivamente in funzione di perimetro, area, prodotto dei lati e raggio della circonferenza circoscritta
Questo è il risultato

Esempio 1

Ordine triangoli 1.png (37.88 KiB) Visto 15521 volte

Esempio 2

Ordine triangoli 2.png (39.13 KiB) Visto 15521 volte

[panurgo]

Un'altra considerazione: l'area di questi triangoli è certamente intera.

In un Tiangolo Pitagorico almeno uno dei due cateti, $2mn$ e $m^2-n^2$, è pari quindi l'area del triangolo è intera: i nostri triangoli sono somma o differenza di due Triangoli Pitagorici quindi... i nostri triangoli non sono altro che i Triangoli Eroniani.

Qui, però, vorrei porre una domanda: ho parlato superficialmente di "triangolo più piccolo" che ha una determinata caratteristica. Ma poi mi sono chiesto: cosa significa "triangolo più piccolo"? Esiste un modo per "ordinare" i triangoli dal più piccolo al più grande?

Se si pensa a come sono costruiti mi pare che la scatola che li contiene sia una scatola rettangolare: ordiniamoli per lato maggiore della scatola e per lato minore in caso di parità.

Ciò significa per la maggiore tra base e altezza nel caso in cui solo un'altezza sia intera; per due altezze intere, la maggiore tra le due basi e le due altezze e l'altezza o la base relativa; per tre idem con patatine...

[panurgo]

Qui, però, vorrei porre una domanda: ho parlato superficialmente di "triangolo più piccolo" che ha una determinata caratteristica. Ma poi mi sono chiesto: cosa significa "triangolo più piccolo"? Esiste un modo per "ordinare" i triangoli dal più piccolo al più grande?

Se si pensa a come sono costruiti mi pare che la scatola che li contiene sia una scatola rettangolare: ordiniamoli per lato maggiore della scatola e per lato minore in caso di parità.

Ciò significa per la maggiore tra base e altezza nel caso in cui solo un'altezza sia intera; per due altezze intere, la maggiore tra le due basi e le due altezze e l'altezza o la base relativa; per tre idem con patatine...

Ci ho ripensato: disegniamo il triangolo poggiato sul lato più lungo in modo che sia $a>b>c$, calcoliamo l'altezza relativa ad $a$

$\displaystyle h_a=\sqrt{c^2-\left(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2}$

e ordiniamo i triangoli per base crescente e, in caso di triangoli con la stessa base, per altezza crescente.

Ecco una lista di triangoli ordinati more panurgo

Codice: Seleziona tutto

17,10,9
20,13,11
21,17,10
21,20,13
34,20,18
37,30,13
40,37,13
40,26,22
40,25,25
40,39,25
42,34,20
42,40,26
58,41,33
58,51,41
65,51,20
68,40,36
73,52,35
73,50,41
73,69,50
74,60,26
74,63,25
75,65,20
75,73,52
77,74,25
80,74,26
80,52,44
80,50,50
80,78,50
84,68,40
84,80,52
85,50,45
104,87,41
104,85,45
105,104,41
106,65,57
109,68,59
109,80,61
109,102,61
113,104,17
116,89,45
116,82,66
116,102,82
117,80,53
120,113,17
123,106,65
123,109,68
123,116,89
130,102,40
136,80,72
136,117,53
145,133,26
145,136,25
146,104,70
146,100,82
146,138,100
148,120,52
148,126,50
150,145,25
150,130,40
150,146,104
153,145,26
153,97,70
153,90,81
154,148,50
160,148,52
160,104,88
160,100,100
160,156,100
164,133,45
168,136,80
168,160,104
170,97,89
170,100,90
180,117,99
187,164,45
189,153,90
189,180,117
200,159,65
200,153,97
202,189,41
205,116,107
205,174,85
205,200,85
207,202,41
208,153,89
208,174,82
208,170,90
210,208,82
212,130,114
212,165,113
212,195,113
218,169,63
218,136,118
218,160,122
218,204,122
219,170,97
221,200,29
221,149,120
221,148,123
221,219,148
222,221,149
225,200,65
225,200,65
226,208,34
229,189,68
229,210,61
231,208,89
232,229,61
232,178,90
232,225,65
232,164,132
232,204,164
233,137,120
234,160,106
240,221,29
240,226,34
241,169,90
241,145,136
241,187,122
241,231,122
246,212,130
246,218,136
246,232,178
253,229,68
257,231,40
260,204,80
260,157,139
261,212,77
261,181,170
261,208,181
265,207,104
265,219,100
267,205,116
272,160,144
272,234,106
273,241,136
274,185,153
274,267,185
275,265,100
279,257,40
281,178,153
281,195,164
281,267,164
287,265,104
290,266,52
290,272,50
292,208,140
292,200,164
292,276,200
296,240,104
296,252,100
296,233,137
300,290,50
300,260,80
300,292,208
301,218,169
301,261,212
306,290,52
306,194,140
306,180,162
306,253,145
306,287,145
308,296,100
309,260,157
309,281,178
320,296,104
320,208,176
320,200,200
320,312,200
325,296,45
328,255,97
328,266,90
328,241,169
333,270,117
336,272,160
336,320,208
340,194,178
340,200,180
340,291,145
340,325,145
349,212,187
349,280,181
349,318,181
350,325,45
356,205,187
360,333,117
360,234,198
360,225,225
360,351,225
370,233,201
373,277,160
373,260,211
373,339,260
374,328,90
377,280,153
378,306,180
378,360,234
385,328,97
388,269,219
388,357,269
389,261,160
390,373,277
394,357,65
400,318,130
400,369,113
400,399,113
400,306,194
401,390,41
404,357,89
404,378,82
408,401,41
409,272,169
409,327,136
409,369,122
410,232,214
410,279,193
410,348,170
410,400,170
411,349,212
411,370,233
413,409,122
414,404,82
416,306,178
416,348,164
416,340,180
420,416,164
423,394,65
424,305,153
424,260,228
424,377,153
424,330,226
424,390,226
425,250,225
435,404,89
436,338,126
436,289,203
436,272,236
436,320,244
436,408,244
438,340,194
442,298,240
442,296,246
442,438,296
444,442,298
449,298,249
449,296,255
449,447,296
450,400,130
452,416,68
452,437,61
453,356,205
453,449,298
455,409,136
458,323,169
458,378,136
458,420,122
459,452,61
462,416,178
464,458,122
464,356,180
464,328,264
464,408,328
468,320,212
468,413,181
468,451,181
469,410,193
480,452,68
482,338,180
482,289,257
482,290,272
482,374,244
482,462,244
492,424,260
492,436,272
492,464,356
500,325,275
506,458,136
510,409,169
514,462,80
520,408,160
520,389,261
525,425,250
525,436,289
525,500,325
530,414,208
530,438,200
534,410,232
544,320,288
544,468,212
546,482,272
549,520,101
550,530,200
557,480,173
558,514,80
560,549,101
561,458,169
567,424,305
569,360,281
574,530,208
579,482,289
584,557,173
600,520,160
602,436,338
613,600,37
617,520,137
624,613,37
650,581,97
650,592,90
656,510,194
656,532,180
656,623,145
656,482,338
657,656,145
672,544,320
680,569,281
696,617,137
700,650,90
711,650,97
748,656,180
770,656,194

Eccone un po', messi al muro

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P.S.: dato che i triangoli si estendono in due dimensioni è difficile immaginare un ordine unidimensionale