Una finale molto combattuta

[franco]

Alberto, Bruno, Carlo e Dario sono arrivati alla finale di un concorso polisportivo.
Si sfideranno in $n$ prove per ciascuna delle quali il primo classificato riceverà $p1$ punti, il secondo $p2$, il terzo $p3$ e il quarto $p4$ punti ($p1$ ... $p4$ interi distinti strettamente positivi).
Al termine della terza prova, Carlo è ultimo nella classifica provvisoria mentre gli altri tre atleti sono primi a pari merito.
Al termine della finale però il vincitore è proprio Carlo con 20 punti, seguito da Dario, Alberto e Bruno che ottengono rispettivamente 17, 15 e 13 punti.

Deterimnare:
- il numero $n$ delle prove
- i punteggi $p1$ $p2$ $p3$ $p4$ assegnati per ogni singola prova
- il nominativo dell'atleta che era in testa alla classifica prima dell'ultima prova

www.diophante.fr
E351

Quatre athlètes A,B,C et D participent à la finale d’un concours qui comporte un certain nombre d’épreuves. A l’issue de chacune d’elles, le vainqueur reçoit p1 points, le second p2 points, le troisième p3 points et le dernier p4 points avec p1,p2,p3 et p4 entiers distincts strictement positifs.
Après la troisième épreuve le score cumulé de C le place provisoirement en dernière position tandis que les trois autres concurrents sont ex-aequos.
A l’issue du concours C est vainqueur avec 20 points suivi par D,A et B qui obtiennent respectivement 17 points, 15 points et 13 points.
Déterminer le nombre d’épreuves, le barème des p1,p2,p3 et p4 et l’athlète qui est en tête à l’issue de l’avant dernière épreuve.

[Maurizio59]

...
Deterimnare:
- il numero $n$ delle prove
...

Alla fine del concorso sono stati assegnati 20 + 17 + 15 + 13 = 65 punti.
Il punteggio totale può essere scomposto in 13 x 5 per cui o le prove sono state 5 e in ognuna sono stati assegnati 13 punti totali oppure le prove sono 13 e in ognuna sono stati assegnati 5 punti totali.
Il punteggio minimo da assegnare è 10 (1,2,3,4) per cui l'unica possibilità è che le prove siano state 5.

Lascio ad altri la possibilità di rispondere alle due domande successive.

[NothIng]

Alla fine del concorso sono stati assegnati 20 + 17 + 15 + 13 = 65 punti.
Il punteggio totale può essere scomposto in 13 x 5 per cui o le prove sono state 5 e in ognuna sono stati assegnati 13 punti totali oppure le prove sono 13 e in ognuna sono stati assegnati 5 punti totali.
Il punteggio minimo da assegnare è 10 (1,2,3,4) per cui l'unica possibilità è che le prove siano state 5.

Spiegazione semplice e elegante, in poche parole molto bella; io con ragionamenti più complicati avevo capito solo che n doveva essere >= 5.

Le quadruple possibili per i punteggi sono solo 3: $\displaystyle 1;2;3;7 - 1;2;4;6 - 1;3;4;5$

Nelle prime 3 prove sono stati distribuiti 3*13 = 39 punti:
$\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
Alberto_3 + Bruno_3 + Carlo_3 + Dario_3 = 39 \\
Alberto_3 = Bruno_3 = Dario_3 = R \\
Carlo_3 < R
\end{array}
\right.$
quindi $\displaystyle Carlo_3 = 39 - 3R < R \text{ --> } R > \frac{39}{4} \geq 10$
e si sa che $\displaystyle Dario_5 \geq Dario_3 + 1 +1 $ --> $\displaystyle Dario_3 \leq Dario_5 - 2 \text{ --> } R = Dario_3 \leq 11 $
R può assumere solo i valori:
$\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
R = 10 \text{ --> } Carlo_3 = 9 \text{ --> } \text{verificando i possibili scenari deve essere eliminato non permette di soddisfare le altre condizioni} \\
R = 11 \text{ --> } Carlo_3 = 6 \text{ --> } \text{l'unico scenario possibile è Carlo sia sempre arrivato terzo nelle prime gare e vinca le ultime due prendendo 7 punti ognuna}
\end{array}
\right.$

La classifica è, le prime 2 righe ammettono permutazioni,:
$
\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& Alberto & Bruno & Carlo & Dario \\
\hline
Prova_1 & 7 & 3 & 2 & 1 \\
\hline
Prova_2 & 8 & 10 &4 & 4 \\
\hline
Prova_3 & 11 & 11 & 6 & 11 \\
\hline
Prova_4 & 14 & 13 & 13 & 12 \\
\hline
Prova_5 & 17 & 15 & 20 &13 \\
\hline
\end{array}
$

Alla fine della quarta prova Alberto è in testa con 14 punti

[Maurizio59]

...
La classifica è, le prime 2 righe ammettono permutazioni,:
$
\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& Alberto & Bruno & Carlo & Dario \\
\hline
Prova_1 & 7 & 3 & 2 & 1 \\
\hline
Prova_2 & 8 & 10 &4 & 4 \\
\hline
Prova_3 & 11 & 11 & 6 & 11 \\
\hline
Prova_4 & 14 & 13 & 13 & 12 \\
\hline
Prova_5 & 17 & 15 & 20 &13 \\
\hline
\end{array}
$

Alla fine della quarta prova Alberto è in testa con 14 punti

Soluzione perfetta, tranne che per l'ordine di arrivo finale.
Infatti esso deve essere: Carlo, Dario, Alberto e Bruno (e non Carlo, Alberto, Bruno e Dario come indicato nella tua tabella).