Tombola al quadrato

[Quelo]

Ottimo Maurizio, tra l'altro le tue soluzioni hanno una coppia la cui differenza è un quadrato (70-6 e 66-2), quindi sono soluzioni 6+ (ce n'è un a terza)

Ecco un possibile metodo:

Prendo 2 numeri la cui somma è un quadrato.
Chiaramente bisogna essere fortunati, ma noi lo siamo, perché due numeri che funzionano sono 1 e 3
Ora scelgo un terzo numero che "faccia quadrato" con 1, le possibilità sono 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80
Cerco il quarto numero tale che si sposi sia con 3 che con il terzo.
Per farlo basta notare che la differenza tra il terzo numero e 3 sarà la differenza tra i due quadrati ottenuti dalle somme
Quindi 5, 12, 21, 32, 45, 60, 77
Sapendo che a²-b²=(a+b)(a-b), dobbiamo scomporre la differenza in due fattori (f,g) e trovare i due numeri che sommati e sottratti diano i due fattori: a = f - b, b = (f - g) / 2
Scarto tutte le possibilità che hanno un fattore pari e uno dispari, perché i numeri non sarebbero interi (tipo 60 = 5 x 12)
5 si scompone in 5 e 1, i due numeri sono 3 e 2, i due quadrati 9 e 4, il quarto numero 9 - 8 = 4 - 3 = 1, già utilizzato
12 si scompone in 6 e 2 --> 16 - 15 = 4 - 3 = 1
21 si scompone il 7 e 3 --> 25 - 24 = 4 - 3 = 1 oppure 21 e 1 --> 121 - 24 = 10 - 3 = 97 (maggiore di 90)
andando avanti si arriva a
32 = 16 x 2 --> 81 - 35 = 49 - 3 = 46
A questo punto cerco il quinto numero analizzando le differenze tra i quattro numeri: 2, 11, 34, 43, 45
Nessuna di queste prota a un numero tra 1 e 90
Proseguendo
45 = 15 x 3 --> 81 - 48 = 36 - 3 = 33
differenze: 2, 15, 30, 32, 47
Quella buona è il 15 = 15 x 1 = 64 - 48 = 49 - 33 = 16

$1,3,16,33,48$