Tombola al quadrato

[Quelo]

Peschiamo 2 numeri dal sacchetto della tombola, qual è la probabilità che la loro somma sia un quadrato perfetto?

Scegliere 5 numeri (da 1 a 90) al fine di massimizzare la probabilità che prendendone 2 a caso, di questi 5, la loro somma sia un quadrato perfetto

Esiste un "quadrato magico al quadrato" 2x2 (in cui le somme di righe, colonne e diagonali sono quadrati perfetti)?

[Maurizio59]

Peschiamo 2 numeri dal sacchetto della tombola, qual è la probabilità che la loro somma sia un quadrato perfetto?
...

Io ho trovato una probabilità del 5.74% (46/801).

[Quelo]

Corretto!

[NothIng]

Esiste un "quadrato magico al quadrato" 2x2 (in cui le somme di righe, colonne e diagonali sono quadrati perfetti)?

Alcuni esempi:
$
\begin{pmatrix}
\displaystyle{{a^2}} & \displaystyle{0} \\
\displaystyle{0} & \displaystyle{0}
\end{pmatrix}
$; $
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\pm \frac{a^2}{2}} & \displaystyle{\frac{a^2}{2}} \\
\displaystyle{\frac{a^2}{2}} & \displaystyle{\frac{a^2}{2}}
\end{pmatrix}
$; $
\begin{pmatrix}
\displaystyle{b^2-\frac{a^2}{2}} & \displaystyle{\frac{a^2}{2}} \\
\displaystyle{\frac{a^2}{2}} & \displaystyle{\frac{a^2}{2}}
\end{pmatrix}
$;

Considerando le terne pitagoriche $\displaystyle{a^2}+\displaystyle{b^2}=\displaystyle{c^2}$ si ha anche:
$
\begin{pmatrix}
\displaystyle{c^2-b^2} & \displaystyle{0} \\
\displaystyle{b^2} & \displaystyle{0}
\end{pmatrix}
$; $
\begin{pmatrix}
\displaystyle{c^2-b^2} & \displaystyle{0} \\
\displaystyle{0} & \displaystyle{b^2}
\end{pmatrix}
$;

[Quelo]

Ottimo, non avevo considerato questa possibilità.
Utilizzando solo numeri interi tutti diversi, io ho trovato soluzioni da 5 su 6 (solo una coppia di numeri su 6 non dà come somma un quadrato)

[Maurizio59]

...
Utilizzando solo numeri interi tutti diversi, io ho trovato soluzioni da 5 su 6 (solo una coppia di numeri su 6 non dà come somma un quadrato)

Anche io ho trovato solo queste soluzioni. Ad esempio con i numeri 4, 21, 60, 165 solo la somma 165 + 21 = 186 non è un quadrato perfetto (ma lo è la loro differenza!).
Ecco la sua rappresentazione:

[Quelo]

Interessante questa interpretazione, ecco un'altra soluzione di questo tipo

QMQ.png (5.94 KiB) Visto 102193 volte

[Maurizio59]

...
Esiste un "quadrato magico al quadrato" 2x2 (in cui le somme di righe, colonne e diagonali sono quadrati perfetti)?

Certo che esiste!

[Maurizio59]

Ed eccone un altro.

[Quelo]

Bravo Maurizio!

I tuoi risultati mi hanno indotto a ripensare l'algorimo di ricerca e sono emersi diversi quadrati, questo è quello minimo

QMQminimo.png (10.05 KiB) Visto 101173 volte

[Maurizio59]

...
I tuoi risultati mi hanno indotto a ripensare l'algoritmo di ricerca e sono emersi diversi quadrati, questo è quello minimo
...

Python colpisce ancora!

[Quelo]

Ho scoperto, non senza stupore, che i QM² di grado 3 sono più comuni di quelli di grado 2

Ecco una possibile costruzione

$\begin{bmatrix}
1& 2 & 6 \\
3 & & 8 \\
5 & 9 &
\end{bmatrix}$

Sulla seconda riga, colonna e diagonale la somma è 11, quindi al centro potrei mettere 5, 14, 25, 38, 53, ...
Sulla terza riga e colonna la somma è 14, mentre sulla prima diagonale c'è 1 più il numero al centro
La differenza tra questi numeri è la differenza tra i quadrati risultanti
Scartiamo 5 e 14, uno perché già in uso, l'altro perché troppo piccolo (la differenza sarebbe 1)
Proviamo con 25, la differenza è 26-14 = 12, i due quadrati con differenza 12 sono 16 e 4, tutti e due troppo piccoli
Proviamo con 38, la differenza è 39-14 = 25, i due quadrati con differenza 25 sono 144 e 121, quindi in basso a destra metteremo 130

$\begin{bmatrix}
1& 2 & 6 \\
3 & 38 & 8 \\
5 & 9 & 130
\end{bmatrix}$

Proviamo con 53, la differenza è 54-14 = 40, i due quadrati con differenza 40 sono 121 e 81, quindi in basso a destra metteremo 67

$\begin{bmatrix}
1& 2 & 6 \\
3 & 53 & 8 \\
5 & 9 & 67
\end{bmatrix}$

e così via

Il quadrato minimo (inteso come la più bassa somma di tutti i numeri) è però

QMQ3minimo.png (12.87 KiB) Visto 99148 volte

Se vogliamo che tutti i quadrati siano diversi

QMQ3Sminimo.png (13.07 KiB) Visto 99148 volte

----------------------
AGGIORNAMENTO
----------------------

Nuovi minimi (presunti)

QMQ3newmin.png (25.04 KiB) Visto 99094 volte

[NothIng]

Scegliere 5 numeri (da 1 a 90) al fine di massimizzare la probabilità che prendendone 2 a caso, di questi 5, la loro somma sia un quadrato perfetto

Fare un brute forcing per testare le $\displaystyle\binom{90}{5}$ 5-ple è faticoso; scelgo un altra via partendo dal fatto che in questi 4 numeri:
$\displaystyle{32-a}; \displaystyle{32+a}; \displaystyle{32-b}; \displaystyle{32+b}$- ci sono due coppie che sommate danno $\displaystyle{64}$

è possibile mettere un vincolo su $\displaystyle{a, b}$ in modo che $\displaystyle{32-b+32+a}$ sia un quadrato.
Ponendo $\displaystyle{a=3}; \displaystyle{b=18}$ si ottengono 4 numeri: $\displaystyle{14; 29; 35; 50}$ che danno 3 quadrati $\displaystyle{49; 64; 64}$

Come 5° numero si può scegliere $\displaystyle{86}$ che permette di ottenere altri 2 quadrati $\displaystyle{100; 121}$

In una 5-pla ci sono 10 coppie di numeri; con questi 5 numeri ho trovato 5 quadrati: mi sembra un buon punto di partenza ottenuto con pochissima fatica

[Quelo]

Bene, ci sei quasi. Il massimo di quadrati che si può ottenere è 6 su 10

[Maurizio59]

... Il massimo di quadrati che si può ottenere è 6 su 10

Io ho trovato due soluzioni. La prima è:

La seconda è (2,15,34,47,66).
Nella prima i quadrati sono tutti diversi mentre nella seconda ci sono due 49 e due 81.