Proiettili che si annichilano (probabilità)

[Gianfranco]

Questo problema di probabilità mi sembra interessante. L'ho trovato in un gruppo Facebook di Matematica.
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Ogni secondo una pistola spara un proiettile nella stessa direzione ad una velocità random tra [0,1] scelta con distribuzione uniforme. Non ci sono attriti e quando due proiettili collidono, si annichilano. Dopo aver sparato 10 proiettili, qual è la probabilità che si annichilino tutti?
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Potrebbe essere scritto meglio, per esempio chiarendo che non c'è la forza di gravità e per di più l'idea che siano proiettili sparati da un pistola non mi piace tanto.
Spero che si capisca, comunque potete migliorare il testo.

[Quelo]

Salvo errori di simulazione, la probabilità mi esce 24,6%

[NothIng]

Salvo errori di simulazione, la probabilità mi esce 24,6%

Questo valore approssima molto bene $\displaystyle\frac{\frac{10!}{5!(10-5)!}}{2^{10}}$

Ecco il mio ragionamento anche se forse andrà ritoccato in certi punti

Potrebbe essere scritto meglio.... Spero che si capisca, comunque potete migliorare il testo.

Tanto per capirci, ipotizziamo che vengano lanciati 4 oggetti ${\displaystyle{A}, \displaystyle{B}, \displaystyle{C}, \displaystyle{D}}$ negli istanti ${\displaystyle{0}, \displaystyle{\Delta T}, \displaystyle{2\Delta T}, \displaystyle{3\Delta T}}$ e consideriamo 3 scenari:
1) le velocità sono ${\displaystyle{0.5}, \displaystyle{0.4}, \displaystyle{0.3}, \displaystyle{0.9}}$ --> spariscono $\displaystyle{C}, \displaystyle{D}$ e rimangono $\displaystyle{A}, \displaystyle{B}$

scenario1.png (51.73 KiB) Visto 15975 volte

2) le velocità sono ${\displaystyle{0.5}, \displaystyle{0.1}, \displaystyle{0.3}, \displaystyle{0.9}}$ --> spariscono $\displaystyle{B}, \displaystyle{C}$ e poi spariscono anche $\displaystyle{A}, \displaystyle{D}$

scenario2.png (46.91 KiB) Visto 15975 volte

3) le velocità sono ${\displaystyle{0.5}, \displaystyle{0.2}, \displaystyle{0.3}, \displaystyle{0.6}}$ --> si incontrato tre oggetti in un punto: ipotizziamo che spariscano solo $\displaystyle{B}, \displaystyle{C}$ così poi spariscono anche $\displaystyle{A}, \displaystyle{D}$ come nel caso precedente

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Con queste premesse si vede che se la velocità di due oggetti ha l'andamento da "minore" a "maggiore" quella coppia di oggetti si annichila: nel caso 2) di prima
$\displaystyle{V_B < V_C}$ --> spariscono $\displaystyle{B}, \displaystyle{C}$ ma si ha anche $\displaystyle{V_A < V_D}$ --> spariscono anche $\displaystyle{A}, \displaystyle{D}$

Dopo aver sparato 10 proiettili, qual è la probabilità che si annichilino tutti?

Abbiamo una $10\text{-}pla$ di numeri, si annichilano tutti se ci sono 5 alternanze di velocità da "minore" a "maggiore", una cosa del tipo $\displaystyle{Minore, Maggiore, Minore, Maggiore, Minore, Maggiore, Minore, Maggiore, Minore, Maggiore}$

La probabilità di avere esattamente 5 "maggiori" e 5 "minori" in una sequenza di 10 numeri è data dalla combinazione di scegliere 5 posizioni per i numeri "maggiori" tra le 10 disponibili: $\displaystyle\frac{10!}{5!(10-5)!} = \displaystyle{252}$
Un numero può essere o "maggiore" o "minore", sono 2 possibilità --> le $10\text{-}pla$ possibili con quei 10 numeri sono $\displaystyle{2^{10}} = 1024$
La probabilità quindi è $\displaystyle{\frac{252}{1024} = 0.24609...}$

In realtà la $10\text{-}pla$ oltre ai numeri "maggiori" e "minori" può avere anche numeri "uguali": questi oggetti vengono lanciati in istanti temporali differenti così non si incontrano mai e non si annichilano --> i numeri "uguali" possono essere trascurati