Il gioco delle 50 buste

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Il gioco delle 50 buste

Messaggio da franco »

(scovato in rete e, per quanto mi riguarda, ancora senza soluzione Immagine!)

Siete stati selezionati per partecipare ad un nuovo programma in TV: “Il gioco delle 50 buste”.
Il gioco è molto semplice: di fronte a voi vi sono 50 buste che contengono cifre diverse e sconosciute (in particolare non avete la più pallida idea di quale sia l’importo massimo).
Dovete aprire una ad una le buste e di volta in volta decidere se accettare quella cifra e fermarvi oppure rifiutarla e passare alla busta successiva.
Alla fine la cifra è effettivamente vinta solo se è la più alta in assoluto fra tutte quelle delle 50 buste.
Qual è la migliore strategia per massimizzare la probabilità di vittoria?

ciao e ... buona fortuna!

P.S. Ho editato il post aggiungendo le frasi in rosso
Ultima modifica di franco il lun set 24, 2007 10:23 pm, modificato 1 volta in totale.
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

a botta calda, direi che la scelta migliore, come aspettativa media, è di aprire un certo numero x di buste, e, da quel punto in avanti, continuare ad aprire buste fino a che non si scopre una cifra superiore al massimo visto nelle prime x buste.
Come determinare x, in relazione al numero di buste, è la parte intrigante.
Ad occhio, ma proprio ad occhio, posizionerei il limite tra 1/3 e 1/2
Non chiedetemi perchè
Vado a fare ricerche
'notte
Enrico

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

ho trovato una interessante variante: riguarda la strategia di scelta del partner !
La "dating strategy" si può descrivere più o meno in questo modo: immaginiamo uno scapolo che decida di voler mettere su famiglia; si affida ad una agenzia di appuntamenti che gli garantisce, entro un anno, 10, o 20, o 50 incontri.
dopo ogni serata, bisogna rispondere sì o no; e, una volta detto no, non ci sono speranze di un ripensamento.
Primo appuntamento: sembra a posto, ma è verosimile che una delle prossime 49 sia meglio; "mi spiece cara, ma non se ne fa nulla..."
ma non si può dire di no sempre: c'è il rischio di trovarsi con la scelta obbligata al 50° appuntamento (che è una racchia anche poco spiritosa!).
Quante scartarne quindi, prima di "scegliere la prima che è meglio della migliore vista finora"?
La risposta, non potendo tirare in ballo Fibonacci, la troviamo nell'onnipresente "e".
dato N il numero delle potenziali scelte, la quota da visionare è N/e.

Versione casalinga con le carte, e con 10 opzioni: si mescolano le dieci carte di un seme; se ne rivoltano un po'; si continua fino a che una carta supera il valore maggiore visto. Come prevedibile il risultato peggiore lo si ottiene rivoltando 0 carte o 9 carte: solo in un caso su dieci la scelta cadrà sulla carta davvero più alta; voltandone 3, faremo la scelta migliore circa una volta su tre.
Sono gradite simulazioni.

Conseguenze pratiche e consiglio per i giovani compagni( e compagne) di B5. Quando cominciate a fare conoscenze, fermatevi un attimo a considerare quanti possibili partner pensate di avere occasione di incontrare in un ragionevole periodo di tempo (entro i 35? ) poi applicate la formula, e....datevi da fare!
se la vostra aspettativa è, ad esempio, di conoscere 40 possibili partner, assaggiate e scartatene 13 o 14; poi, portate all'altare il primo che vi sembra meglio dei precedenti.
(domanda cattiva a mathmum: viste le tue non celate recriminazioni sulla vita matrimoniale, dobbiamo pensare che non hai applicato la formuletta?)
Enrico

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco »

Enrico,
seguendo il tuo consiglio e le tue intuizioni mi sono messo a macinare simulazioni (sto analizzando 100 sequenze casuali da 50 numeri ciascuna, credo possano essere significative) e si notano parecchie cose interessanti e, almeno per me, sorprendenti. Per il momento però non voglio svelare le carte sperando di vedere una soluzione "matematica".
Fra l'altro questa analisi mi ha portato a rileggere con maggiore attenzione il testo del problema (in inglese) e mi sono accorto di aver fatto un'errore di interpretazione: la cifra della busta prescelta si vince solo se è quella più alta in assoluto! (adesso vado ad editare il testo del problema)
Questo fatto rende molto più improbabile la vittoria ma, forse, molto più semplici i calcoli.

ciao
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

le elucubrazioni che ho scritto, derivano da
HOW LONH IS A PIECE OF STRING
more hidden mathematics of everyday life
di Rob Eastaway and Jeremy Wyndham (Robson Books,2002)
Enrico

Gimmy
Livello 2
Livello 2
Messaggi: 26
Iscritto il: lun mag 22, 2006 11:29 pm
Località: Pisa
Contatta:

Messaggio da Gimmy »

Siiii .... : anch'io adoro quei libri!! :D
Ora veramente… col tempo divento più curioso e voglio sapere come si arriva a certe formule… ad esempio ho trovato la dimostrazione di come si arriva a La distribuzione di Poisson: bellissima! :D
Cmq riguardo a questo penso … boh… credo abbia qualcosa a che fare con le dismutazioni -> http://it.wikipedia.org/wiki/Dismutazio ... ematica%29

Ultima cosa: consiglio vivamente la lettura dei libri di Rob Eastaway and Jeremy Wyndham, per chi volesse, i titoli in italiano sono:
1 - Probabilità, numeri e code;
2 - Coppie, numeri e frattali;

Scusate per la pseudo pubblicità… ma un posto, o un topic con tutti i libri più belli sulla matematica? Non è un'idea malvagia no?
Gimmy

- "Se non sarà per culo, sarà per Matematica!" - Giò, gettando una manciata di carrarmatini rossi sull'Australia Occidentale.
Utente:Wikipedia -> http://it.wikipedia.org/wiki/Utente:Gim²y

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco »

Non vi sarete mica arresi? :twisted:

A forza di sbattere la testa al muro (e soprattutto dopo aver modificato il testo) sono riuscito a risolverlo anch'io!
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Gimmy
Livello 2
Livello 2
Messaggi: 26
Iscritto il: lun mag 22, 2006 11:29 pm
Località: Pisa
Contatta:

Messaggio da Gimmy »

Come arresi? La risposta non è giusta?
Proverò a riassumere il tutto:

Se si scegliesse di prendere la prima busta si avrebbe una possibilità su 50 di scegliere quella migliore...ma si potrebbe, dopo aver visto il contenuto della prima busta è x, scegliere la prima busta il cui contenuto supera x.
Ma si potrebbe scegliere anche, dopo aver trovato una busta con un contenuto y maggiore di x, di andare avanti e scegliere la prima che abbia un contenuto maggiore di y. E andare avanti così...

Tuttavia, arrivati circa alla metà delle buste, le possibilità di trovare la busta con il contenuto più alto diminuiscono; ad esempio, se la terzultima busta ha un contenuto maggiore di y (rifacendosi al caso di prima) si capisce che è molto improbabile che le restanti 2 buste nascondano un premio più alto, per cui conviene prendere la terzultima busta.

Ora: è stato studiato, non da me, che il momento in cui conviene tenersi la prima busta che supera x soldi è quando si arriva alla $\frac{n}{e}$ esima busta, dove n è il numero delle buste totali e e è il Numero di Nepero, la famosa costante matematica, equivalente a circa 2,718..

Non è così dunque?
Gimmy

- "Se non sarà per culo, sarà per Matematica!" - Giò, gettando una manciata di carrarmatini rossi sull'Australia Occidentale.
Utente:Wikipedia -> http://it.wikipedia.org/wiki/Utente:Gim²y

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

ho notato che il problema è stato un poco aggiustato: adesso si parla di un gioco in cui si vince qualcosa. e lo si vince solo se si sceglie la busta col Top-prize .
di solito in questi quesiti si chiede di valutare la "equità" delle condizioni, ma ciò non è possibile nel caso in oggetto, non essendo nota l'entità del premio.
Bisogna forse modificare ancora qualcosa, del tipo: per giocare bisogna puntare una certa posta X; se si sceglie il top-prize si vince, ma non la cifra nella buta, ma una cifra nX; trovare n affinchè il gioco sia equo.
Enrico

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco »

Gimmy ha scritto:Come arresi? La risposta non è giusta?
......
Non è così dunque?
La risposta è giusta, almeno credo, il problema è che la risposta dovrebbe essere cercata "dentro di noi", e magari in qualche modo dimostrata.

P.S.

Sul sito dove ho trovato il problema c'è anche la soluzione, che sono andato a controllare dopo aver lungamente sudato per darne una autonoma.
Effettivamente arriva ad N/e ma lo dimostra in modo per me incomprensibile!

2° P.S.

Il testo originale non parlava di giochi a premi ma di 100 fanciulle da marito (come citato anche da Enrico) una delle quali sarebbe stata concessa a patto di riuscire a scegliere quella con la dote (in senso economico $$$) più cospicua.
Questo problema si trova su www.mathproblems.info (è il numero 26)
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco »

Si vede proprio che l'estate è finita e tutti abbiamo meno tempo da dedicare alle ricreazoni!

Vabbè!

Visto che questo problema non ha avuto seguito e prima che passi definitivamente nel dimenticatoio posto la soluzione in allegato (non in chiaro così chi vuole può ancora cimentarsi):
pag_1
pag_2

Come già detto, ho trovato scritto (ma non mi sembra dimostrato) che, per N →∞, dovrebbe essere x = N/e e P = 1/e.

Se consideriamo che 50/e = 18,39 e che 1/e = 0,3679 ho motivo di pensare di aver ottenuto un risultato non disprezzabile (fra l’altro ho fatto qualche prova con N variabile e si vede che P diminuisce all’aumentare di N).


Tutto questo vale per il problema così come l'ho riformulato (si vince se trovi il massimo altrimenti niente).

Ho provato a fare delle simulazioni anche con la precedente versione, nella quale si vinceva la busta scelta anche se non aveva la cifra massima.

In questo caso il criterio per massimizzare la vincita è lo stesso ma le buste da scartare all'inizio diminuiscono notevolmente; infatti se e vero che arrivando a 18 aumentano le probabilità di beccare quella con la cifra massima, aumentano anche le probabilità che il massimo sia fra le buste scartate e quindi che, dopo averle sfogliate inutilmente tutte, mi debba accontentare dell'ultima!

Non ho approfondito molto ma la vincita si massimizzava scartando circa una decina di buste.

ciao
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Rispondi