Triangolo in Esagono

[Maurizio59]

Un triangolo rettangolo è inscritto in un esagono regolare di area 1. Trova l'area massima del triangolo rettangolo.

[Gianfranco]

Ho fatto qualche prova "empirica" e prima di proseguire ti chiedo se potrebbe essere circa 0,35.

[panurgo]

Ho fatto qualche prova "empirica" e prima di proseguire ti chiedo se potrebbe essere circa 0,35.

più precisamente, $\displaystyle\frac9{8\sqrt3+12}$

[Maurizio59]

Ho fatto qualche prova "empirica" e prima di proseguire ti chiedo se potrebbe essere circa 0,35.

più precisamente, $\displaystyle\frac9{8\sqrt3+12}$

Il mio risultato è leggermente superiore a 0,35 e non corrisponde a quello di Panurgo.
A meno che io non abbia commesso degli errori!

[Gianfranco]

Cari amici, sono arrugginito...
Bello il risultato di Panurgo.
Mi aspetto sorprese da Maurizio.
Nel frattempo, sono andato un po' avanti metà analitico e metà sperimentale.
Dal lato analitico ho supposto (arbitrariamente) che il triangolo potesse avere gli estremi di un cateto (GH) su due lati consecutivi.
Facendo delle prove ho supposto che l'estremo G stesse bene sul vertice A dell'esagono.
L'angolo a, variabile, determina la posizione di H e quindi di tutto il triangolo GHI.
AREA GHI = AREA GIK - AREA GKH.

esa1.png (91.44 KiB) Visto 61810 volte

Con un po' di geometria analitica ho trovato che l'area di GHI in funzione di a potrebbe essere questa:

esa3.png (8.05 KiB) Visto 61810 volte

Magari si può semplificare, oppure è sbagliata, non lo so.
La scrivo qui nel formato di wxMaxima: y=(-sqrt(2)*sqrt(3)*tan(a)^2-sqrt(2)*sqrt(3))/(sqrt(2)*3^(1/4)*(3^(3/4)*tan(a)-3^(5/4)))+(sqrt(3)*tan(a)*(-sqrt(2)*sqrt(3)*tan(a)^2-sqrt(2)*sqrt(3)))/(sqrt(2)*(3^(3/4)*tan(a)-3^(5/4))^2)
Ora viene la parte sperimentale.

esa2.png (9.98 KiB) Visto 61810 volte

Il massimo della funzione si ha più o meno per:
a= 0.3965 rad
Area= 0.35195

Salvo erori & ommisioni

[Gianfranco]

più precisamente, $\displaystyle\frac9{8\sqrt3+12}$

Il tuo risultato è bello.
Potresti dare un cenno del procedimento?

[Maurizio59]

...
Mi aspetto sorprese da Maurizio.
...

Nessuna sorpresa. Lavoro ben fatto.
Mi permetto di fare solo alcune precisazioni.
La formula da te trovata è corretta ma si può semplificare. I valori approssimati si possono scrivere in forma chiusa.
L'angolo diventa $\large\tan\theta=\Large\frac{3\sqrt3-\sqrt19}{2}=\large0.39646...= 22.7...°$
Mentre l'area massima è $\large A_{max}=\Large\frac{19\sqrt57}{24}-\frac{45}{8}=\large 0.35195226...$

[panurgo]

Avevo appena cominciato con questo

Triangolo in Esagono.3.480x480.png (19.68 KiB) Visto 61376 volte

pensavo di andare per approssimazioni successive...

[Gianfranco]

La formula da te trovata è corretta ma si può semplificare. I valori approssimati si possono scrivere in forma chiusa.
L'angolo diventa $\large\tan\theta=\Large\frac{3\sqrt3-\sqrt19}{2}=\large0.39646...= 22.7...°$
Mentre l'area massima è $\large A_{max}=\Large\frac{19\sqrt57}{24}-\frac{45}{8}=\large 0.35195226...$

Grazie Panurgo, non mi aspettavo che esistesse un valore chiuso per la tangente, da cui ricavare quello dell'area.
Ottimo lavoro Panurgo, bel problema Maurizio!

Confermo che l'altra soluzione di Panurgo, anche se è un "quasi massimo" è comunque bella sia nella formula che nella figura. C'è una simmetria che dona pace all'anima!

[Maurizio59]

Faccio solo notare che la soluzione trovata da Panurgo si riferisce ad un triangolo rettangolo isoscele.
Anche in questo caso la soluzione migliore non è quella simmetrica e l'area massima diventa:
$\Large A_{max} =\LARGE \frac{11}{\sqrt3} - \large 6 = 0.35085...$