11 palline

[NothIng]

Estendere questi risultati al problema originale richiede ancora un poco di studio.....

Ecco qualche ragionamento sul problema originario.
Il grafo degli stati è più complicato rispetto al problema semplificato: ci sono 27 transizioni valide + 1 proibita, quella che va da "5" a "11" perchè sono due stati che differiscono di più di 5 numeri.

Il peso, la probabilità, della generica transizione dallo stato di partenza "P numeri diversi" allo stato di arrivo "A numeri diversi" vale $\displaystyle\frac{\binom{11-P}{A-P}\binom{P}{5-A+P}}{\binom{11}{5}}$
con $P = 5....11$; $A = P....11$ e $A-P <= 5$.
Il peso della probabilità da "0 numeri diversi" allo stato di arrivo "5 numeri diversi" è $1$; quindi è possibile considerare solo le 4 estrazioni dal secondo giorno in poi.

Ecco la tabella delle probabilità; per renderla più leggibile si può trascurare il denominatore $\binom{11}{5} = 462$
$$\begin{array}{c|cccccccc} \text{partenza} & \text{arrivo} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & \text{SOMMA} \\ \hline 5 & & 1 & 30 & 150 & 200 & 75 & 6 & 0 & 462 \\ 6 & & & 6 & 75 & 200 & 150 & 30 & 1 & 462 \\ 7 & & & & 21 & 140 & 210 & 84 & 7 & 462 \\ 8 & & & & & 56 & 210 & 168 & 28 & 462 \\ 9 & & & & & & 126 & 252 & 84 & 462 \\ 10 & & & & & & & 252 & 210 & 462 \\ 11 & & & & & & & & 462 & 462 \\ \end{array}$$
La somma di ogni riga è $462$, è una di quelle cose che trovo rassicuranti!

Con un po' di lavoro è possibile contare il numero di percorsi possibili: è equivalente al numero di modi in cui si possono posizionare $K$ pedine sulle $N$ celle di una scacchiera lasciandone anche alcune vuote: $\displaystyle\binom{N+K-1}{K}$;
di questi percorsi solo alcuni sono "successi", cioè terminano nello stato "11". I successi sono $\displaystyle\binom{N+K-2}{K-1}$
Nel problema originario $N = \text{numero di stati con 5/6/7/8/9/10/11 numeri diversi -->} N=7$; $K=4$ numero di passi, cioè le estrazioni, dal secondo giorno in poi
$\displaystyle\binom{N+K-2}{K-1}=\displaystyle\binom{9}{3}=84$
Le estrazioni che portano al successo sono quindi $84$ di cui $4$ sono proibite perchè differiscono di più di 5 numeri. Eccole elencate insieme ai pesi e trascurando il denominatore $\binom{11}{5} = 462$. L'ultima colonna è il prodotto dei passi: è la probabilità di quel "successo".

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Conteggio} & \text{giorno 1} & \text{giorno 2} & \text{giorno 3} & \text{giorno 4} & \text{giorno 5} & \text{} & \text{estrazione 2} & \text{estrazione 3} & \text{estrazione 4} & \text{estrazione 5} &\text{prodotto} \\ \hline 1 & 5 & 5 & 5 & 5 & 11 & \text{Proibita: il salto è +6} & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 5 & 6 & 11 & & 1 & 1 & 30 & 1 & 30 \\ 3 & 5 & 5 & 5 & 7 & 11 & & 1 & 1 & 150 & 7 & 1050 \\ 4 & 5 & 5 & 5 & 8 & 11 & & 1 & 1 & 200 & 28 & 5600 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & 9 & 11 & & 1 & 1 & 75 & 84 & 6300 \\ 6 & 5 & 5 & 5 & 10 & 11 & & 1 & 1 & 6 & 210 & 1260 \\ 7 & 5 & 5 & 5 & 11 & 11 & \text{Proibita: il salto è +6} & 1 & 1 & 0 & 462 & 0 \\ 8 & 5 & 5 & 6 & 6 & 11 & & 1 & 30 & 6 & 1 & 180 \\ 9 & 5 & 5 & 6 & 7 & 11 & & 1 & 30 & 75 & 7 & 15750 \\ 10 & 5 & 5 & 6 & 8 & 11 & & 1 & 30 & 200 & 28 & 168000 \\ 11 & 5 & 5 & 6 & 9 & 11 & & 1 & 30 & 150 & 84 & 378000 \\ 12 & 5 & 5 & 6 & 10 & 11 & & 1 & 30 & 30 & 210 & 189000 \\ 13 & 5 & 5 & 6 & 11 & 11 & & 1 & 30 & 1 & 462 & 13860 \\ 14 & 5 & 5 & 7 & 7 & 11 & & 1 & 150 & 21 & 7 & 22050 \\ 15 & 5 & 5 & 7 & 8 & 11 & & 1 & 150 & 140 & 28 & 588000 \\ 16 & 5 & 5 & 7 & 9 & 11 & & 1 & 150 & 210 & 84 & 2646000 \\ 17 & 5 & 5 & 7 & 10 & 11 & & 1 & 150 & 84 & 210 & 2646000 \\ 18 & 5 & 5 & 7 & 11 & 11 & & 1 & 150 & 7 & 462 & 485100 \\ 19 & 5 & 5 & 8 & 8 & 11 & & 1 & 200 & 56 & 28 & 313600 \\ 20 & 5 & 5 & 8 & 9 & 11 & & 1 & 200 & 210 & 84 & 3528000 \\ 21 & 5 & 5 & 8 & 10 & 11 & & 1 & 200 & 168 & 210 & 7056000 \\ 22 & 5 & 5 & 8 & 11 & 11 & & 1 & 200 & 28 & 462 & 2587200 \\ 23 & 5 & 5 & 9 & 9 & 11 & & 1 & 75 & 126 & 84 & 793800 \\ 24 & 5 & 5 & 9 & 10 & 11 & & 1 & 75 & 252 & 210 & 3969000 \\ 25 & 5 & 5 & 9 & 11 & 11 & & 1 & 75 & 84 & 462 & 2910600 \\ 26 & 5 & 5 & 10 & 10 & 11 & & 1 & 6 & 252 & 210 & 317520 \\ 27 & 5 & 5 & 10 & 11 & 11 & & 1 & 6 & 210 & 462 & 582120 \\ 28 & 5 & 5 & 11 & 11 & 11 & \text{Proibita: il salto è +6} & 1 & 0 & 462 & 462 & 0 \\ 29 & 5 & 6 & 6 & 6 & 11 & & 30 & 6 & 6 & 1 & 1080 \\ 30 & 5 & 6 & 6 & 7 & 11 & & 30 & 6 & 75 & 7 & 94500 \\ 31 & 5 & 6 & 6 & 8 & 11 & & 30 & 6 & 200 & 28 & 1008000 \\ 32 & 5 & 6 & 6 & 9 & 11 & & 30 & 6 & 150 & 84 & 2268000 \\ 33 & 5 & 6 & 6 & 10 & 11 & & 30 & 6 & 30 & 210 & 1134000 \\ 34 & 5 & 6 & 6 & 11 & 11 & & 30 & 6 & 1 & 462 & 83160 \\ 35 & 5 & 6 & 7 & 7 & 11 & & 30 & 75 & 21 & 7 & 330750 \\ 36 & 5 & 6 & 7 & 8 & 11 & & 30 & 75 & 140 & 28 & 8820000 \\ 37 & 5 & 6 & 7 & 9 & 11 & & 30 & 75 & 210 & 84 & 39690000 \\ 38 & 5 & 6 & 7 & 10 & 11 & & 30 & 75 & 84 & 210 & 39690000 \\ 39 & 5 & 6 & 7 & 11 & 11 & & 30 & 75 & 7 & 462 & 7276500 \\ 40 & 5 & 6 & 8 & 8 & 11 & & 30 & 200 & 56 & 28 & 9408000 \\ 41 & 5 & 6 & 8 & 9 & 11 & & 30 & 200 & 210 & 84 & 105840000 \\ 42 & 5 & 6 & 8 & 10 & 11 & & 30 & 200 & 168 & 210 & 211680000 \\ 43 & 5 & 6 & 8 & 11 & 11 & & 30 & 200 & 28 & 462 & 77616000 \\ 44 & 5 & 6 & 9 & 9 & 11 & & 30 & 150 & 126 & 84 & 47628000 \\ 45 & 5 & 6 & 9 & 10 & 11 & & 30 & 150 & 252 & 210 & 238140000 \\ 46 & 5 & 6 & 9 & 11 & 11 & & 30 & 150 & 84 & 462 & 174636000 \\ 47 & 5 & 6 & 10 & 10 & 11 & & 30 & 30 & 252 & 210 & 47628000 \\ 48 & 5 & 6 & 10 & 11 & 11 & & 30 & 30 & 210 & 462 & 87318000 \\49 & 5 & 6 & 11 & 11 & 11 & & 30 & 1 & 462 & 462 & 6403320 \\
50 & 5 & 7 & 7 & 7 & 11 & & 150 & 21 & 21 & 7 & 463050 \\
51 & 5 & 7 & 7 & 8 & 11 & & 150 & 21 & 140 & 28 & 12348000 \\
52 & 5 & 7 & 7 & 9 & 11 & & 150 & 21 & 210 & 84 & 55566000 \\
53 & 5 & 7 & 7 & 10 & 11 & & 150 & 21 & 84 & 210 & 55566000 \\
54 & 5 & 7 & 7 & 11 & 11 & & 150 & 21 & 7 & 462 & 10187100 \\
55 & 5 & 7 & 8 & 8 & 11 & & 150 & 140 & 56 & 28 & 32928000 \\
56 & 5 & 7 & 8 & 9 & 11 & & 150 & 140 & 210 & 84 & 370440000 \\
57 & 5 & 7 & 8 & 10 & 11 & & 150 & 140 & 168 & 210 & 740880000 \\
58 & 5 & 7 & 8 & 11 & 11 & & 150 & 140 & 28 & 462 & 271656000 \\
59 & 5 & 7 & 9 & 9 & 11 & & 150 & 210 & 126 & 84 & 333396000 \\
60 & 5 & 7 & 9 & 10 & 11 & & 150 & 210 & 252 & 210 & 1666980000 \\
61 & 5 & 7 & 9 & 11 & 11 & & 150 & 210 & 84 & 462 & 1222452000 \\
62 & 5 & 7 & 10 & 10 & 11 & & 150 & 84 & 252 & 210 & 666792000 \\
63 & 5 & 7 & 10 & 11 & 11 & & 150 & 84 & 210 & 462 & 1222452000 \\
64 & 5 & 7 & 11 & 11 & 11 & & 150 & 7 & 462 & 462 & 224116200 \\
65 & 5 & 8 & 8 & 8 & 11 & & 200 & 56 & 56 & 28 & 17561600 \\
66 & 5 & 8 & 8 & 9 & 11 & & 200 & 56 & 210 & 84 & 197568000 \\
67 & 5 & 8 & 8 & 10 & 11 & & 200 & 56 & 168 & 210 & 395136000 \\
68 & 5 & 8 & 8 & 11 & 11 & & 200 & 56 & 28 & 462 & 144883200 \\
69 & 5 & 8 & 9 & 9 & 11 & & 200 & 210 & 126 & 84 & 444528000 \\
70 & 5 & 8 & 9 & 10 & 11 & & 200 & 210 & 252 & 210 & 2222640000 \\
71 & 5 & 8 & 9 & 11 & 11 & & 200 & 210 & 84 & 462 & 1629936000 \\
72 & 5 & 8 & 10 & 10 & 11 & & 200 & 168 & 252 & 210 & 1778112000 \\
73 & 5 & 8 & 10 & 11 & 11 & & 200 & 168 & 210 & 462 & 3259872000 \\
74 & 5 & 8 & 11 & 11 & 11 & & 200 & 28 & 462 & 462 & 1195286400 \\
75 & 5 & 9 & 9 & 9 & 11 & & 75 & 126 & 126 & 84 & 100018800 \\
76 & 5 & 9 & 9 & 10 & 11 & & 75 & 126 & 252 & 210 & 500094000 \\
77 & 5 & 9 & 9 & 11 & 11 & & 75 & 126 & 84 & 462 & 366735600 \\
78 & 5 & 9 & 10 & 10 & 11 & & 75 & 252 & 252 & 210 & 1000188000 \\
79 & 5 & 9 & 10 & 11 & 11 & & 75 & 252 & 210 & 462 & 1833678000 \\
80 & 5 & 9 & 11 & 11 & 11 & & 75 & 84 & 462 & 462 & 1344697200 \\
81 & 5 & 10 & 10 & 10 & 11 & & 6 & 252 & 252 & 210 & 80015040 \\
82 & 5 & 10 & 10 & 11 & 11 & & 6 & 252 & 210 & 462 & 146694240 \\
83 & 5 & 10 & 11 & 11 & 11 & & 6 & 210 & 462 & 462 & 268939440 \\
84 & 5 & 11 & 11 & 11 & 11 & \text{Proibita: il salto è +6} & 0 & 462 & 462 & 462 & 0 \\
\hline \end{array}$$

La somma di tutti i percorsi è $24948723200$ e considerando il denominatore$^*$ è finalmente possibile rispondere al quesito originale:
$probabilità = \displaystyle\frac{24948723200}{{\binom{11}{5}}^4} = \displaystyle\frac{24948723200}{45558341136} = \displaystyle\frac{1559295200}{2847396321} = 0,5476214141...$ come scritto in piccolo piccolo qualche post precedente da Panurgo

Curiosità: il singolo "successo" più probabile è il numero $73$ che corrisponde al percorso $0$ --> $5$ --> $8$ --> $10$ --> $11$ --> $11$ con
$probabilità = \displaystyle{\frac{3259872000}{462^4}} = 0.0715...$
quello meno probabile invece è il numero $2$ che corrisponde al percorso $0$ --> $5$ --> $5$ --> $5$ --> $6$ --> $11$ con
$probabilità = \displaystyle{\frac{30}{462^4}} =6.5..*10^{-10}$

________________________________________________________________________________________
$^*$: l'esponete è $4$ perchè si considerano $4$ estrazioni. L'$\text{estrazione 1}$ porta sempre nello stato $5$

[panurgo]

Le catene di Markov funzionano così: in un processo formato da più stati le probabilità di transizione da uno stato all’altro sono fisse; le raggruppiamo in una matrice (in letteratura le matrici hanno generalmente lo stato di partenza in riga e lo stato di arrivo in colonna ma io mi trovo male quindi faccio a rovescio); lo stato di partenza viene indicato in un vettore e gli stati successivi si ottengono moltiplicando il vettore per la matrice

$y_r=My_{r-1}$

Agendo ricorsivamente otteniamo

$y_r=My_{r-1}=M^2y_{r-2}=M^3y_{r-3}=\cdots=M^ry_0$

Il problema dunque è quello di calcolare la potenza $M^r$: se siamo abbastanza fortunati la matrice $M$ è diagonalizzabile ovvero esiste una matrice $S$ tale che

$S^{-1}MS=\Lambda=\pmatrix{\lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n}$

($\Lambda$ è una matrice diagonale).
Ovviamente

$S\Lambda S^{-1}=S(S^{-1}MS)S^{-1}=SS^{-1}(M)S^{-1}S=M$

quindi

$M^r=S\Lambda^rS^{-1}$

e la potenza di una matrice diagonale è la matrice diagonale delle potenze

$\Lambda^r=\pmatrix{\lambda_1^r & & & \\ & \lambda_2^r & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n^r}$

come si può facilmente dimostrare.
I valori di $\lambda$, gli autovalori della matrice, sono le soluzioni dell’equazione

$\left|M-\lambda I\right|=\left|M-\lambda\pmatrix{1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1}\right|=0$

e le colonne di $S$, gli autovettori corrispondenti, sono i vettori per cui vale

$(M-\lambda_kI)S_k=0$

Facciamo un esempio semplice: un miniprocesso con due soli stati

11 palline.03.png (3.31 KiB) Visto 2846 volte

La matrice di transizione, in generale, è

$M=\pmatrix{p & 1-q \\ 1-p & q }$

con $0<p,q<1$.
Gli autovalori sono le soluzioni dell’equazione

$\left|\begin{array}{cC} p-\lambda & 1-q \\ 1-p & q-\lambda\end{array}\right|=\lambda^2-(p+q)\lambda-1+p+q=(\lambda+1-p-q)(\lambda-1)=0$

ovvero

$\lambda_1=-1+p+q$

e

$\lambda_2=1$

Mentre gli autovettori sono, il primo

$\pmatrix{p-(-1+p+q) & 1-q \\ 1-p & q-(-1+p+q)}\pmatrix{S_{11} \\ S_{21}}=\pmatrix{1-q & 1-q \\ 1-p & 1-p}\pmatrix{-1 \\ 1}=\pmatrix{0 \\ 0}$

e il secondo

$\pmatrix{p-1 & 1-q \\ 1-p & q-1}\pmatrix{S_{12} \\ S_{22}}=\pmatrix{-(1-p) & 1-q \\ 1-p & -(1-q)}\pmatrix{1-q \\ 1-p}=\pmatrix{0 \\ 0}$

La matrice degli autovettori è

$S=\pmatrix{-1 & (1-q) \\ 1 & (1-p)}$

mentre la sua inversa è

$\displaystyle S^{-1}=\frac1{(1-p)+(1-q)}\pmatrix{-(1-p) & (1-q) \\ 1 & 1}$

La potenza della matrice è

$\displaystyle M^r=\pmatrix{-1 & (1-q) \\ 1 & (1-p)}\pmatrix{(-1+p+q)^r & 0 \\ 0 & 1}\frac1{(1-p)+(1-q)}\pmatrix{-(1-p) & (1-q) \\ 1 & 1}$

cioè

$\displaystyle M^r=\frac1{(1-p)+(1-q)}\pmatrix{(1-p)(-1+p+q)^r+(1-q) & & -(1-q)(-1+p+q)^r +(1-q) \\ & & & \\ -(1-p)(-1+p+q)^r+(1-p)& & (1-q)(-1+p+q)^r+(1-p)}$

Al crescere di $r$ il processo tende ad uno stato stazionario

$\displaystyle M^\infty=\lim_{r\to\infty}M^r=\pmatrix{\displaystyle\frac{(1-q)}{(1-p)+(1-q)} & & \displaystyle\frac{(1-q)}{(1-p)+(1-q)}\\ \displaystyle\frac{(1-p)}{(1-p)+(1-q)} & & \displaystyle\frac{(1-p)}{(1-p)+(1-q)}}$

dato che

$0<p,q<1\quad\Longrightarrow\quad 0<(p+q)<2\quad\Longrightarrow\quad -1<(-1+p+q)<1\quad\Longrightarrow\quad\lim_{r\to\infty}(-1+p+q)^r=0$

Supponendo che sia $q=1$ il processo diventa

11 palline.04.png (2.91 KiB) Visto 2846 volte

e lo stato $2$ è uno stato assorbente: le matrici diventano

$M=\pmatrix{p & 0 \\ 1-p & 1},\quad \Lambda=\pmatrix{p & 0 \\ 0 & 1},\quad S=\pmatrix{-1 & 0 \\ 1 & 1-p},\quad S^{-1}=\pmatrix{-1 & 0 \\ \frac1{1-p} & \frac1{1-p}}$

e

$M^r=\pmatrix{p^r & 0 \\ 1-p^r & 1}$

con

$M^\infty=\pmatrix{0 & 0 \\ 1 & 1}$

ovvero lo stato assorbente fa il suo lavoro: assorbe.
In questo caso, se partiamo dallo stato $2$ rimaniamo lì: supponiamo dunque di partire dallo stato $1$ con

$y_0=\pmatrix{1 \\ 0}$

Ne segue

$y_r=M^ry_0=\pmatrix{p^r \\ 1-p^r}$

L’ultimo elemento di $y_r$ è la funzione cumulativa di probabilità per $r$

$F_R(r|\top)=1-p^r$

La funzione distribuzione di probabilità (discreta) è

$f_R(r|\top)=F_R(r|\top)-F_R(r-1|\top)=(1-p)p^{r-1}$

Con la catena di Markov otteniamo tutte le informazioni necessarie per rispondere alle domande su $r$: per esempio, nel caso delle undici palline, basta mettere le probabilità in una matrice in un foglio di Excel e, usando la funzione MATR.PRODOTTO, calcolare

$ y_2=My_1,\quad y_3=My_2,\quad y_4=My_3,\quad y_5=My_4$

L’ultima cella dell’ultimo vettore contiene la probabilità cercata.

[NothIng]

Forse arrivo con un po' di ritardo ma avevo già preparato il materiale...

Eccole elencate insieme ai pesi

Quest’ultimo passaggio può essere evitato usando le matrici per avere una formulazione più compatta, elegante e leggibile:
[stato di arrivo giorno 1] = [stato di partenza] * [matrice transizione]
[stato di arrivo giorno 2] = [stato di arrivo giorno 1] * [matrice transizione]
…
[stato di arrivo giorno n] = [stato di partenza] * ([matrice transizione]^n)
"stato" è un vettore riga i cui elementi sono la probabilità di essere nello stato [0 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11].

$[\displaystyle\text{stato di arrivo giorno 5}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} * \left(\begin{array}{ccccccc} 0 & 462 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
& 1 & 30 & 150 & 200 & 75 & 6 & 0 \\
& & 6 & 75 & 200 & 150 & 30 & 1 \\
& & & 21 & 140 & 210 & 84 & 7 \\
& & & & 56 & 210 & 168 & 28 \\
& & & & & 126 & 252 & 84 \\
& & & & & & 252 & 210 \\
& & & & & & & 462 \\
\end{array}\right)^5 * {(\displaystyle\frac{1}{462})}^5
$
Dove le celle vuote della matrice sono 0.

Per il calcolo si può usare matrixcalc.org con queste impostazioni ottenendo
$[\displaystyle\text{stato di arrivo giorno 5}] = \begin{pmatrix} \displaystyle{0} & \displaystyle\frac{1}{45558341136} & \displaystyle\frac{185}{1084722408} & \displaystyle\frac{479725}{7593056856} & \displaystyle\frac{3856225}{949132107} & \displaystyle\frac{118817275}{1687345968} & \displaystyle\frac{86937205}{230092632} & \displaystyle\frac{1559295200}{2847396321}\end{pmatrix} $

L’ultimo elemento di questo vettore riga rappresenta la probabilità di essere nello stato "11 numeri diversi" dopo 5 estrazioni

[franco]

Che dire, non posso che farvi i complimenti!

Ero arrivato anche io alla soluzione esatta utilizzando il suggerimento ma sicuramente lo sviluppo che avete fatto, per quanto un po' troppo complesso rispetto al mio livello di competenza, è estremamente interessante!

[Gianfranco]

Cari amici, mi associo a Franco con i miei migliori complimenti.
Bravissimi, grazie, per me è stata una discussione ricca di insegnamenti.
Volendo fare un paragone, la considero migliore di una lezione universitaria di Matematica!

[panurgo]

[...] le probabilità di cui parliamo sono governate dalla distribuzione ipergeometrica [...]

Prendiamo ad esempio un problema RCG (Ricavo, Costo, Guadagno), che so: “Un Commerciante acquista sette dozzine di uova...”.
Tutti noi, presumo, abbiamo affrontato questi problemi nel millennio scorso, quando eravamo verdi virgulti, anche se nessuno si è premurato di dirci che erano i nostri primi passi in un universo più vasto: trasferire informazioni oggettive dal mondo in un modello matematico ($G=R-C$), eseguire il calcolo e riportare indietro nel mondo il risultato ottenuto.
Il modello non è una mera rappresentazione del processo reale: il Commerciante, per acquistare le uova, non toglie il costo dal ricavo ma usa il denaro in suo possesso, diciamo una somma $S$. Dall’affermazione “Un Commerciante acquista...” possiamo dedurre che $S\geq C$ che altrimenti l’acquisto non avrebbe luogo: dopo l’acquisto la somma diviene $S-C$, dopo la vendita $S-C+R=S+G$ da cui $G=R-C$.
Risulta evidente che la somma $S$ è irrilevante ai fini del calcolo e, soprattutto, non la conosciamo: non è un dato oggettivo.
Il modello è efficace ed efficiente: ci invita a focalizzarci sulle informazioni strettamente necessarie all’ottenimento del risultato.
La natura logico-matematica del problema è ancora più evidente quando è formulato come ipotesi: “SE un Commerciante acquista [...] E rivende [...] ALLORA il suo guadagno sarà [...]”.
La principale difficoltà di questo tipo di problemi consiste proprio nell’identificare correttamente le informazioni da trasferire ed è per questo che la Maestra ci ha ripetuto più e più volte: “bambini, leggete attentamente il testo del problema”.

Un altro esempio è quando misuriamo lunghezza e larghezza di un tavolo perché vogliamo acquistare una tovaglia: in realtà prendiamo quelle due misure e le trasferiamo al rettangolo che utilizziamo implicitamente come modello della superficie del tavolo; lo stesso modello lo utilizziamo, sempre implicitamente, per la superificie della tovaglia cosicché possiamo confrontare le due.
Evidentemente ne il tavolo ne la tovaglia, per quanto bene siano fatti, sono “rettangolari”: al crescere dalla precisione, misure fatte in punti diversi saranno diverse molto prima di arrivare al punto in cui il modello continuo cede il passo alla natura atomica della materia.
Per il nostro scopo, comunque, il modello è perfettamente adeguato.

Tornando alle $11$ palline, come è fatta l’urna? Come sono fatte le palline? L’urna è grande rispetto alle palline o è appena sufficiente a contenerle? Le palline vengono estratte una alla volta o tutte insieme? Vengono estratte dalla stessa apertura da cui vengono reineserite o da un’altra?
Evidentemente tutte queste informazioni sarebbero rilevanti per i nostri calcoli se le avessimo: non le abbiamo quindi le uniche informazioni oggettive sono le numerosità, palline totali ($11$) e palline estratte ($5$).
A queste possiamo aggiungere delle ipotesi, numeri già noti ($n$) e numeri scoperti in questa estrazione ($k$): in questo caso siamo obbligati a considerare tutte le possibilità.
Con questi vincoli e in base al Principio di Indifferenza (nessuna pallina è speciale) il modello da utilizzare è la vecchia cara Distribuzione Ipergeometrica: numero di modi in cui possiamo pescare $5-k$ numeri nuovi su $n$ moltiplicato numero di modi in cui possiamo pescare $k$ numeri nuovi su $11-n$ diviso numero di modi in cui possiamo pescare $5$ palline su $11$

$\displaystyle\Pr\left(n+k\middle|n\wedge\top\right)=\frac{{{n}\choose{5-k}}{{11-n}\choose{k}}}{{{11}\choose{5}}}$

Ovviamente, il modello è un’entità matematica e non un oggetto del mondo quindi non sarebbe stato corretto dire: “la probabilità di passare da $n$ numeri noti a $n+k$ è...”. La probabilità come dato oggettivo NON ESISTE (Bruno de Finetti).

[Gianfranco]

Pietro, bellissima spiegazione! Grazie!