Gioco di specchi

[franco]

Abbiamo una stanza rappresentata in pianta dal rettangolo ABCD i cui lati misurano un numero intero di metri.
Le pareti della stanza sono rivestite da specchi.
Dal vertice A parte un raggio di luce verde in direzione della parete CD e dal vertice D parte un raggio di luce rossa in direzione della parete AB.

GiocoDiSpecchi.png (13.08 KiB) Visto 41054 volte

Dopo svariate riflessioni, il raggio verde raggiunge per la prima volta il vertice B avendo descritto un tragitto di 29 metri esatti.
Il raggio rosso a sua volta, viene riflesso dalle pareti sino a raggiungere per la prima volta il vertice A avendo descritto un percorso di 53 metri esatti.

Determinare il numero di riflessioni effettuate da ciascun raggio di luce e il numero di punti d'incontro del percorso dei due raggi.

Nota: la figura non è necessariamente in scala

www.diophante.fr
I137

P.S. Quando ho visto questo problema su diophante.fr si è "sbloccato il ricordo" del mio primo intervento sul forum ... dicembre 2006!

[Maurizio59]

Io ho trovato le dimensioni della stanza.
Il lato AB è lungo 7 metri e il lato AD è lungo 5 metri.

[franco]

Io ho trovato anche il numero delle riflessioni che scrivo in caratteri lillipuziani qui sotto (per lasciare il piacere a chi è interessato)
(rosso = 6 riflessioni; verde = 11 riflessioni)

Sono ancora a caccia delle intersezioni che vorrei evitare di contare meccanicamente dopo aver ricostruito il percorso con un programma di grafica.
(in realtà, con il CAD, le ho già disegnate e contate ma è veramente poco elegante)
(25 intersezioni)

[panurgo]

Gioco di specchi.01.457x700.png (43.41 KiB) Visto 40736 volte

Con riferimento alla figura, se tasselliamo il piano con rettangoli congruenti possiamo rettificare il percorso dei raggi luminosi aprendo dei forellini nelle pareti.
Evidentemente, $29$ e $53$ devono essere le ipotenuse di due Triangoli Pitagorici: l’equazione diofantea

$m^2+n^2=29$

ha la soluzione $m=5$ e $n=2$ che corrisponde alla Terna Pitagorica $(21,20,29)$; l’equazione diofantea

$m^2+n^2=53$

ha la soluzione $m=7$ e $n=2$ che corrisponde alla Terna Pitagorica $(45,28,53)$.
Se, come in figura, scegliamo un rettangolo $7\times 5$ ($\text{MCD}(21,28)=7$ e $\text{MCD} (20,45)=5$) abbiamo $5$ riflessioni per il raggio verde e $11$ riflessioni per il raggio rosso.
Senza buchi il percorso dei raggi è il seguente (con $26$ intersezioni interne alla stanza e $1$ nell’angolo $\text{A}$)

Gioco di specchi.02.640x640.png (88.7 KiB) Visto 40736 volte

È possibile anche usare un rettangolo $4\times 3$ ($\text{MCD}(20,28)=4$ e $\text{MCD} (21,45)=3$)

Gioco di specchi.03.457x700.png (45.22 KiB) Visto 40736 volte

con $10$ riflessioni del raggio verde e $20$ del raggio rosso ma il raggio verde non termina nell’angolo $\text{B}$ perché ad ogni riflessione la pendenza del raggio cambia segno e un numero pari di riflessioni lo manda nello stesso verso della partenza, verso il basso (nell’angolo $\text{C}$)

Gioco di specchi.04.640x533.png (47.28 KiB) Visto 40736 volte

Un discorso analogo vale per il raggio rosso.

[franco]

...
Con riferimento alla figura, se tasselliamo il piano con rettangoli congruenti possiamo rettificare il percorso dei raggi luminosi aprendo dei forellini nelle pareti.
...

Ciao Guido,

come sempre, ottimo e abbondante

Ho fatto esattamente gli stessi tuoi ragionamenti, salvo poi che contando i punti di intersezione me ne ero perso 1 ...

(i colori sono scambiati ma non avevo voglia di rifare il disegno, il concetto è quello)

GiocoDiSpecchi2.png (34.7 KiB) Visto 40436 volte