Sommatorie e quadrati

[NothIng]

Astolfo ha notato che la somma dei primi $n$ numeri naturali può dare un quadrato perfetto, succede ad esempio per $n = 1$ e $n = 8$.

Pensando che questa proprietà valga quando $n = a^3$ rimane stupito nel constatare che la somma dei primi 27 numeri naturali non sia un quadrato perfetto.

Quali sono gli altri $n$, se ci sono, che godono di questa proprietà?

[Maurizio59]

Altri numeri che godono di questa proprietà sono $n = 49, n = 288, n = 1681, n = 9800.$
Su OEIS essa rappresenta la sequenza A001108.
Essa si può ottenere utilizzando la formula ricorsiva:
$$a(n+1)=6 a(n)-a(n-1)+2$$

[Bruno]

Si dimostra facilmente che non ci sono altri cubi con tale proprietà.
In compenso, $n$ può essere un quadrato infinite volte.

[NothIng]

Essa si può ottenere utilizzando la formula ricorsiva:
a(n+1)=6 a(n)-a(n-1)+2

Interessante! Io ho seguito un altro filo del ragionamento trovando un collegamento inaspettato con le equazioni di Pell https://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation

Se la somma dei primi $n$ numeri naturali è un quadrato perfetto si può scrivere:
$\frac{n(n+1)}{2} = a^2 \rightarrow n = \frac{-1+\sqrt{1+8a^2}}{2}$
$n$ deve essere intero quindi $1+8a^2$ deve essere un quadrato perfetto $1+8a^2 = k^2 \rightarrow k^2 - 8a^2 = 1$

Quest'ultima equazione ha come possibili soluzioni
$\left\{
\begin{array}{l}
k = 3 \\
a = 1
\end{array}
\right.
$
e
$\left\{
\begin{array}{l}
k = 17 \\
a = 6
\end{array}
\right.
$

In generale due coppie di soluzioni possono essere combinate per trovarne una terza:
$\left\{
\begin{array}{l}
k_m = k_n*k_1 + 8a_n*a_1 \\
a_m = k_1*a_n + a_1*k_n
\end{array}
\right.
$

Così è possibile trovare le altre.

Si dimostra facilmente che non ci sono altri cubi con tale proprietà

Ci ragiono su...