Il rettangolo ABCD è diviso in 4 parti.
I numeri 4 e 6 indicano le aree dei triangoli corrispondenti.
Quanto vale l’area del quadrilatero CDFE?
Area nel rettangolo
Ci ho messo troppo tempo a trovare la soluzione... usando una proprietà molto semplice dei triangoli.
Nota. Ispirato a un problema che ho trovato nel libro di Giovanni Filocamo, La matematica si impara giocando, Gribaudo, 2022.
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$l = $ $\over{BF_2}$ ; $l_1 = $ $\over{BE}$ ; $l_2 = $ $\over{BC}$
2) I Triangoli $F_1FA$ e $BEA$ sono simili
$\frac{h_1}{h}$ $=$ $\frac{l_1}{l}$ $\hat{=}$ $1 + \alpha$
3) $AREA_{F_1FA} = \frac{hl}{2}$
$AREA_{BEA} = \frac{h_1l_1}{2} = \frac{hl}{2}(1+\alpha)^2 = 6+4$
$AREA_{BFA} = \frac{h_1l}{2} = \frac{hl}{2}(1+\alpha) = 6$
Da cui si ricava: $\alpha = \frac{2}{3}$ ; $hl = \frac{36}{5}$
4) I Triangoli $BF_2F$ e $BCD$ sono simili
$\alpha h : l = h_1 : l_2$ da cui $l_2 = \frac{l(1 + \alpha)}{\alpha} = \frac{5}{2}l$
5) $\over{EC}$ $ = l_2 - l_1 = l \frac{1 - \alpha^2}{\alpha} = \frac{5}{6}l$
6) $AREA_{BCA} = AREA_{BEA} + AREA_{ECA} = AREA_{BEA} + \frac{\over{EC}}{2}h_1 = 6 +4 + 5 = 15$
7) $AREA_{BCP} = AREA_{BPA} = AREA_{CDP} = AREA_{PDA} = \frac{AREA_{ABCD}}{4} = 2\frac{AREA_{BCA}}{4} = \frac{15}{2}$
$AREA_{ECPF} = AREA_{BCP} - AREA_{BEF} = AREA_{BCP} - 4 = \frac{7}{2}$
$AREA_{ECDF} = AREA_{CDP} + AREA_{ECPF} = AREA_{BCP} + AREA_{ECPF} = 11$
In generale detto $A_1 \hat{ = } AREA_{BFA}$ e $A_2 \hat{ = } AREA_{BEF}$
$AREA_{ECDF} = A_1 - A_2 + \frac{{A_1}^2}{A_2}$
Questo quesito è stata l'occasione per usare GeoGebra, ecco cosa ne è uscito, non so se ci sono metodi più rapidi.
