Contare le manche.

[panurgo]

Giulio e Romano disputano una partita di $n$ manche vincenti. Si considerano fissate, $p$ e $q=1-p$, le probabilità rispettive che Giulio e Romano vincano una manche.

a) Se $n=3$ qual è la probabilità $P$ che Giulio vinca la partita? Qual è il numero medio di manche per partita.

b) Supponendo $p>1/2$, la probabilità di vittoria di Giulio crece al crescere di $n$?

G10666 su Diophante

[franco]

Per "$n $ $manches $ $vincenti$" si intende che occorre vincere $n$ manches per vincere la partita?
(nel caso di $n=3$ sarebbe il caso di una partita di pallavolo, o di tennis a Wimbledon)

[panurgo]

Vince la partita chi per primo vince $n$ manche

[franco]

Secondo me, le risposte al primo quesito sono queste:

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Per il secondo quesito, la risposta intuitiva è SI.
Estremizzando, è più facile una sorpresa (vittoria dello sfavorito) in una partita secca che su una lunga serie ...

Ho provato a generalizzare la probabilità di vittoria di Giulio su $n$ manches:

manches02.png (11.16 KiB) Visto 77134 volte

Numericamente si può verificare che al crescere di $n$ e per $p>1/2$ il valore cresce ... però non so come dimostrarlo in maniera "elegante"

[panurgo]

Franco ha ragione ma è estremamente laconico.

Consideriamo il caso in cui Giulio e Romano abbiano vinto rispettivamente $i$ e $j$ manche: la prossima può essere vinta dal primo, $i+1$ e $j$, o dal secondo, $i$ e $j+1$.

Interpretiamo $i$ e $j$ come coordinate di una griglia binomiale

G10666.01.png (36.56 KiB) Visto 77034 volte

Ogni passo in su nella griglia ha probabilità $p$, ogni passo in giù ha probabilità $q$.
Giulio può arrivare a $n$ manche quando Romano ne ha vinte $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$, lo stesso vale per Romano: per arrivare allo stato $n,k$, o Romano lo stato $k,n$, Giulio (Romano) deve passare per lo stato $n-1,k$ $(k,n-1)$ che può essere raggiunto tramite uno qualsiasi dei cammini che lo raggiungono mentre lo stato finale può essere raggiunto in un solo modo (vedi figura).
La probabilità di raggiungere lo stato $n,k$ è dunque

$\displaystyle\Pr\left(n,k\middle|\top\right)={{n+k-1}\choose{k}}p^n q^k$

Ci sono $n$ passi verso l’alto e $k$ verso il basso mentre il coefficiente binomiale conta il numero di cammini che portano allo stato $n-1,k$.

Giulio vince raggiungendo uno qualsiasi degli stati $n,k$ con $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$: la sua probabilità di vittoria vale

$\displaystyle\Pr\left(\text{G}\middle|n\wedge\top\right)=\sum_{k=0}^{n-1}{{{n+k-1}\choose{k}}p^n q^k}$

Per lo stato $k,n$ abbiamo, mutatis mutandis,

$\displaystyle\Pr\left(k,n\middle|\top\right)={{n+k-1}\choose{k}}p^k q^n$

e la probabilità di vittoria di Romano vale

$\displaystyle\Pr\left(\text{R}\middle|n\wedge\top\right)=\sum_{k=0}^{n-1}{{{n+k-1}\choose{k}}p^k q^n}$

Per $n=3$

$\displaystyle\Pr\left(\text{G}\middle|n=3\wedge\top\right)=\sum_{k=0}^{2}{{{2+k}\choose{k}}p^3 q^k}=p^3\left[{{2}\choose{0}}+{{3}\choose{1}}q+{{4}\choose{2}}q^2\right]=p^3\left(1+3q+6q^2\right)$

Tenendo conto che $q=1-p$

$\displaystyle\Pr\left(\text{G}\middle|n=3\wedge\top\right)=p^3\left(6p^2-15p+10\right)$

Per quanto riguarda il numero medio di manche, sia che vinca Giulio sia che vinca Romano vengono giocate $n+k$ manche: l’expectation vale

$\displaystyle \left\langle n+k\middle|n\wedge\top\right\rangle=\sum_{k=0}^{n-1}{\left(n+k\right){{n+k-1}\choose{k}}\left(p^n q^k+p^k q^n\right)}$

Per $n=3$

$\displaystyle \left\langle n+k\middle|n\wedge\top\right\rangle=3\left(p^3+q^3\right)+12\left(p^3 q+pq^3\right)+30\left(p^3 q^2+p^2 q^3\right)$

ovvero

$\displaystyle \left\langle n+k\middle|n\wedge\top\right\rangle=3\left(2p^4-4p^3+p^2+p+1\right)$

sempre perché $q=1-p$.

Per la seconda domanda deve essere

$\displaystyle\Pr\left(\text{G}\middle|n+1\wedge\top\right)>\Pr\left(\text{G}\middle|n\wedge\top\right)$

cioè

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{{{n+k}\choose{k}}p^{n+1} q^k}>\sum_{k=0}^{n-1}{{{n+k-1}\choose{k}}p^n q^k}$

Osserviamo che

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{{{n+k}\choose{k}}p^{n+1} q^k}={{2n}\choose{n}}p^{n+1} q^n +\sum_{k=0}^{n-1}{{{n+k}\choose{k}}p^{n+1} q^k}$

cosicche le due sommatorie hanno gli stessi estremi e possiamo scrivere

$\displaystyle{{2n}\choose{n}}p^{n+1} q^n>\sum_{k=0}^{n-1}{{{n+k-1}\choose{k}}p^n q^k}-\sum_{k=0}^{n-1}{{{n+k}\choose{k}}p^{n+1} q^k}$

cioè

$\displaystyle{{2n}\choose{n}}p^{n+1} q^n>\sum_{k=0}^{n-1}{{{n+k-1}\choose{k}}\frac{nq-kp}{n}p^n q^k}$

Chiediamo a WolframAlpha di calcolare la somma e abbiamo

$\displaystyle{{2n}\choose{n}}p^{n+1} q^n>{{2n-1}\choose{n}}p^n q^n $

Giochiamo con i coefficienti binomiali

$\displaystyle{{2n}\choose{n}}=\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{2n}{n}\,\frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}=2{{2n-1}\choose{n}}$

cosicché possiamo semplificare

$\displaystyle 2{{2n-1}\choose{n}}p^{n+1} q^n>{{2n-1}\choose{n}}p^n q^n $

ottenendo $p>1/2$.

QED

[franco]

In effetti sono stato molto sintetico.

Questa è la tabella che avevo costruito per il caso n=3:

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In corrispondenza di ogni punteggio ho indicato in blu la probabilità e in rosso il "numero di strade" con cui si può arrivare a tale punteggio.

Le caselle col punteggio evidenziato in rosa sono quelle per cui il vincicore è Giulio e la probabilità è data dalla somma dei rispettivi valori, come avevo indicato nella prima formula:

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Per il calcolo del numero di partite giocate, valuto anche i casi in cui a vincere sarebbe Romano:

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Il calcolo del numero di partite attese l'ho fatto così (il denominatore è unitario in quanto sono considerati tutti i possibili punteggi finali):

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(salvo poi raggruppare i coefficienti numerici)

ciao

P.S.
Comunque le spiegazioni del nostro Panurgo sono sempre una meraviglia per me!