Il rosso e il nero 2.0

[panurgo]

Anche qui non c'entra Stendhal. Anche questo è un gioco che si fa con un mazzo di carte francesi.

Il primo giocatore gira una carta alla volta fino a che non esce una carta nera: sia $a$ il numero di carte rosse girate; anche il secondo giocatore gira una carta alla volta fino a che non esce una carta nera: sia $b$ il numero di carte rosse girate.

Si chiede quale sia la probabilità di $a<b$, $a=b$ e $a>b$.

[newdelfo]

il secondo giocatore gioca con il mazzo completo, o con ciò che resta dopo che il primo ha fatto la sua parte ?

[panurgo]

Se giocasse con il mazzo completo sarebbe identico al primo giocatore: gioca con quel che resta del mazzo

[franco]

Con le mie limitate competenze in materia, non ho trovato di meglio che fare una tabella in excel per calcolare le probabilità di tutte le combinazioni $a,b$:

r-n.png (184.5 KiB) Visto 79687 volte

Alla fine mi vengono dei risultati che non mi aspettavo:

$P(a>b) = 33,478...$%
$P(a=b) = 33,045...$%
$P(a<b) = 33,478...$%

Mah ... ci ho provato e riprovato ma non trovo altre strade.
Mi fermo in attesa del nostro esperto

[panurgo]

La probabilità di estrarre $r$ carte rosse e $n$ carte nere indipendentemente dall'ordine di estrazione è governata da una distribuzione ipergeometrica

$\displaystyle\Pr\left(r,n\middle|R,N\wedge\top\right)=\frac{\displaystyle {{R}\choose{r}}{{N}\choose{n}}}{\displaystyle {{R+N}\choose{r+n}}}$

Infatti abbiamo

$\begin{array}{lC}
\displaystyle {{R}\choose{r}}\equiv\text{numero di modi in cui è possibile estrarre }r\text{ di }R\text{ elementi} \\
\displaystyle {{N}\choose{n}}\equiv\text{numero di modi in cui è possibile estrarre }n\text{ di }N\text{ elementi} \\
\displaystyle {{R+N}\choose{r+n}}\equiv\text{numero di modi in cui è possibile estrarre }r+n\text{ di }R+N\text{ elementi}
\end{array}$

Si può anche ricavare brutalmente: per esempio, per $r=3$ e $n=2$ abbiamo

$\displaystyle {{3+2}\choose{3}}\,\frac{26}{52}\,\frac{25}{51}\,\frac{24}{50}\,\frac{26}{49}\,\frac{25}{48}=\frac{5!}{3!2!} \frac{\displaystyle \frac{26!}{23!}\,\frac{26!}{24!}}{ \displaystyle \frac{52!}{47!}}=\frac{\displaystyle \frac{26!}{3!23!}\,\frac{26!}{2!24!}}{ \displaystyle \frac{52!}{5!47!}}=\frac{\displaystyle {{26}\choose{3}}{{26}\choose{2}}}{\displaystyle {{52}\choose{5}}}$

con

$\displaystyle {{5}\choose{3}}\equiv\text{numero di ordinamenti di 3 carte rosse e 2 nere}$

La sequenza di passi del nostro gioco è: $a$ carte rosse consecutive, $1$ carta nera, $b$ carte rosse consecutive, $1$ carta nera: la probabilità di questa sequenza è

$\displaystyle p=\Pr\left(a,0\middle|26,26\wedge\top\right)\times\Pr\left(0,1\middle|26-a,26\wedge\top\right)\times\Pr\left(b,0\middle|26-a,25\wedge\top\right)\times\Pr\left(0,1\middle|26-a-b,25\wedge\top\right)$

cioè

$\displaystyle p=\frac{ \displaystyle{{26}\choose{a}}{{26}\choose{0}}}{ \displaystyle{{52}\choose{a}}}\times\frac{ \displaystyle{{26-a}\choose{0}}{{26}\choose{1}}}{ \displaystyle{{52-a}\choose{1}}}\times\frac{ \displaystyle{{26-a}\choose{b}}{{25}\choose{0}}}{ \displaystyle{{51-a}\choose{b}}}\times\frac{ \displaystyle{{26-a-b}\choose{0}}{{25}\choose{1}}}{ \displaystyle{{51-a-b}\choose{1}}}$

Per prima cosa osserviamo che

$\displaystyle {{26}\choose{0}}={{26-a}\choose{0}}={{25}\choose{0}}={{26-a-b}\choose{0}}=1$

cioè

$\displaystyle p=\frac{\displaystyle {{26}\choose{a}}{{26}\choose{1}}{{26-a}\choose{b}}{{25}\choose{1}}}{\displaystyle {{52}\choose{a}}{{52-a}\choose{1}}{{51-a}\choose{b}}{{51-a-b}\choose{1}}}$

Espandiamo i coefficienti binomiali

$\displaystyle p=\frac{\displaystyle\frac{26!}{a!(26-a)!}\times\frac{26!}{1!25!}\times\frac{(26-a)!}{b!(26-a-b)!}\times\frac{25!}{1!24!}}{\displaystyle\frac{52!}{a!(52-a)!}\times\frac{(52-a)!}{1!(51-a)!}\times\frac{(51-a)!}{b!(51-a-b)!}\times\frac{(51-a-b)!}{1!(50-a-b)!}}$

e semplifichiamo

$\displaystyle p=\frac{ \displaystyle\frac{26!}{1}\times\frac{26!}{1}\times\frac{1}{(26-a-b)!}\times\frac{1}{24!}}{\displaystyle\frac{52!}{1}\times\frac{1}{1}\times\frac{1}{1}\times\frac{1}{(50-a-b)!}}=\frac{ \displaystyle\frac{(50-a-b)!}{24!(26-a-b)!}}{ \displaystyle\frac{52!}{26!26!}}=\frac{\displaystyle{{50-a-b}\choose{26-a-b}}}{\displaystyle{{52}\choose{26}}}$

con $0\leq a+b\leq 26$.

Questa probabilità è simmetrica rispetto allo scambio tra $a$ e $b$ quindi deve essere

$\displaystyle \Pr\left(a<b\middle|\top\right)=\Pr\left(a>b\middle|\top\right)$

La probabilità che sia $b=a$ è

$\displaystyle p=\frac{\displaystyle{{50-2a}\choose{26-2a}}}{\displaystyle{{50}\choose{26}}}$

con $0\leq 2a\leq 26$ ovvero $0\leq a\leq 13$: la probabilità cercata è (ho chiesto a Wolfram Alpha)

$\displaystyle \Pr\left(a=b\middle|\top\right)=\sum_{a=0}^{13}\frac{\displaystyle{{50-2a}\choose{26-2a}}}{\displaystyle{{50}\choose{26}}}=\frac{20484410862367}{61989816618513}=0,330447\ldots$

Con riferimento alla tabella di Excel del post di franco questa è la somma delle celle (gialle) della diagonale.

Le altre probabilità le calcoliamo da questa (sempre Wolfram Alpha)

$\displaystyle\Pr\left(a<b\middle|\top\right)=\Pr\left(a>b\middle|\top\right)=\frac{\displaystyle 1-\Pr\left(a=b\middle|\top\right)}2=\frac{20752702878073}{61989816618513}=0,334776\ldots$

[franco]

In realtà, le formule che ho messo nella tabella sono relativamente semplici ...
La colonna C indica, per il giocatore A, la probabilità per ogni carta girata di trovarla nera.
Chiaramente, se prima carta girata è nera ho a=0; se la prima carta nera arriva all'n-simo giro sarà a=n-1
In corrispondenza di ogni punteggio ottenuto da A, nella riga evidenzio il numero di carte rosse rimanenti nel mazzo (le nere sono 25) e calcolo le probabilità di B di girare la carta nera con una formula analoga a quella precedente.
Con poche altre somme e prodotti si arriva al risultato finale.