Almeno un quarto

[franco]

Un altro problemino (sempre sul calcolo delle probabilità ) dalla collezione di www.diophante.fr (G10734)

Taglio un quadrato con il segmento che congiunge due punti presi a caso sul suo perimetro.
Qual è la probabilità che l'area del pezzo più piccolo sia almeno un quarto dell'area totale?

Je coupe un carré par le segment joignant deux points pris au hasard sur son périmètre.
Quelle est la probabilité que l'aire du plus petit morceau soit au moins le quart de l'aire totale ?

[panurgo]

$0,2642\ldots$

[franco]

$0,2642\ldots$

[panurgo]

Ho già la soluzione ma lascio che gli altri si divertano un po'...

[Maurizio59]

Ho già la soluzione ma lascio che gli altri si divertano un po'...

Problema carino.
La situazione è descritta nella seguente figura.

Il primo punto P dista x dal vertice A del quadrato ($0\leq x\leq\frac12$).
Per soddisfare la condizione del problema il secondo punto deve appartenere ai segmenti CN o CM.
La probabilità perciò diventa:
$$P=2\int_0^\frac12 \frac{CN+CM}{4}\,dx$$
La lunghezza dei due segmenti CN e CM si trova facilmente ed è indicata in figura.
Inserendo nell'integrale i valori dei due segmenti si ha:
$$P=\frac12\int_0^\frac12 \frac12+x+1-\frac{1}{2-2x}\,dx$$
La soluzione di questo integrale definito è:
$$P=\frac{7-4\,ln2}{16}=0.2642...$$

[franco]

Problema carino.
La situazione è descritta nella seguente figura.

...

Ottimo, direi!