Di cubo in cubo

[Bruno]

x, y e z sono tre distinti numeri interi positivi.

Trovare infinite terne (x, y, z) tali che:
x³ + y³ + z³ - 3·x·y·z
sia un cubo perfetto.

[panurgo]

Poniamo

$\displaystyle x=y-k,\qquad y,\qquad z=y+k$

Sostituiamo nell'equazione

$\displaystyle (y-k)^3+y^3+(y+k)^3-3(y-k)y(y+k)=n^3$

Semplifichiamo ottenendo

$\displaystyle y=\frac{n^3}{(3k)^2}$

La soluzione più semplice è

$\displaystyle n=3k$

per cui

$\displaystyle x=2k,\qquad y=3k,\qquad z=4k$

Più in generale possiamo scrivere

$\displaystyle n=3kt$

che implica

$\displaystyle x=k(3t^3-1),\qquad y=k(3t^3),\qquad z=k(3t^3+1)$

[Bruno]

Ottimo, Guido

Nella terna conclusiva, l' 1 possiamo senz'altro sostituirlo con un cubo

[panurgo]

Nella terna conclusiva, l' 1 possiamo senz'altro sostituirlo con un cubo

Grazie Bruno: il caso più generale è (finora)

$\displaystyle x=k(3a^3-b^3),\qquad y=k(3a^3),\qquad z=k(3a^3+b^3),\qquad n=3kab^2$

[Quelo]

Altre possibili soluzioni sono:

$ x=2k, \quad y=z=3k$

$x^3+y^3+z^3-3xyz=8k^3=(2k)^3$


$ x=y=7k, \quad z=10k$

$x^3+y^3+z^3-3xyz=216k^3=(6k)^3$


$ x=y=21k, \quad z=22k$

$x^3+y^3+z^3-3xyz=64k^3=(4k)^3$

+++++++++++++++++++++++

Mi sono reso conto che ogni soluzione è una famiglia di terne infinite

$(kx)^3+(ky)^3+(kz)^3-3(kx)(ky)(kz)=k^3(x^3+y^3+z^3-3xyz)$

[Bruno]

Giusto, Sergio

Nel testo si chiedeva che i termini fossero distinti, ma il tuo intervento è certamente opportuno.

[Quelo]

E' corretto.

Prendiamo quindi una soluzione con tre valori distinti (10,17,45) e avremo:

$x=10k, \quad y=17k, \quad z=45k$

$x^3+y^3+z^3-3xyz=(42k)^3$

Oppure possiamo esplorare altri pattern diversi da (-k,+k).
Poniamo ad esempio:

$y=x^2, \quad z=n$

$x^3+y^3-3xyn=0$

$\displaystyle n=\frac{x^3+1}{3}$

$x=3a+2$

$y=(3a+2)^2$

$\displaystyle z=n=\frac{(3a+2)^3+1}{3}$