666 e phi

[Gianfranco]

Clifford Pickover ogni 8 ore circa ne spara qualcuna sul suo profilo X e ultimamente ha proposto queste uguaglianze.

eq666.png (4.92 KiB) Visto 103467 volte

La metafora, carina, collega il numero diabolico (666) all'opposto della metà del numero aureo (φ).
Le uguaglianze sono vere o quasi vere?
Come dimostrarlo?

[franco]

La prima parte dell'uguaglianza è facilmente dimostrabile:

sen(666°)=sen(666°-360°-360°)=sen(-54°)=-sen(54°)
cos(6*6*6°)=cos(216°)=-cos(216°-180°)=-cos(36°)=-sen(90°-36°)=-sen(54°)

La seconda parte sinceramente non saprei come dimostrarla ... ho fatto banalmente un check con excel e trovo una differenza di solo 0,000000000000001
non escludo che la differenza sia dovuta a qualche "arrotondamento" (è sull'ultima cifra significativa)

[Quelo]

sin(54°) dà come risultato esatto

$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}$

che è la metà di $\phi$

Questa identità è riportata anche in Wikipedia

sin54.png (37.57 KiB) Visto 103456 volte

Citando come fonte un documento (anche un po' inquietante) del 2015

phi666.png (13.33 KiB) Visto 103456 volte

[Gianfranco]

Franco e Quelo, grazie, risposte chiarissime.
Praticamente il problema è risolto.
Allora mi rimane il problema con wxMaxima che sbaglia sen(666°) dalla 15esima cifra decimale in avanti, pur impostando bfloat a 16 o più cifre.
Che ci sia lo zampino del diavolo?

Maxima666.png (34.04 KiB) Visto 103437 volte

[Quelo]

Penso che dipenda dal fatto che $\pi$ è comunque approssimato.

Ad esempio con Decimal Basic, ma anche con altri linguaggi di programmazione
$\sin{(0)}=0$
mentre
$\sin{(2\pi)}=-2,45\cdot10^{-16}$

db_sin2pi.png (20.18 KiB) Visto 103393 volte

[Gianfranco]

Ad esempio con Decimal Basic, ma anche con altri linguaggi di programmazione...

Giusto, però il DECIMAL Basic permette di fare qualcosa in più.
1) Se imposti ARI>THMETIC DECIMAL_HIGH è più preciso sul seno di 2pi

BASIC_rad.png (25.35 KiB) Visto 103339 volte

2) Se imposti gli angoli in gradi allora non fa quell'errore.

BASIC_deg.png (39 KiB) Visto 103339 volte

Io sono molto legato al BASIC come linguaggio interpretato di scripting e il DECIMAL Basic mi sembra molto valido per fare esperimenti di matematica.

Metto qui sotto il secondo codice.

Codice: Seleziona tutto

OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
OPTION ANGLE DEGREES
PRINT SIN(180)
PRINT SIN(0)
PRINT "---"
PRINT SIN(666)
PRINT COS (6*6*6)
PRINT -((1+SQR(5))/4)
END

[Quelo]

Molto probabilmente le funzioni vengono eseguite con un certo grado di precisione, oltre il quale si presenta un errore.

Per esempio in python (installando un apposito modulo) posso eseguire calcoli con un numero di cifre significative a piacere.
Se scelgo 20 cifre, la differenza tra $\sin{\pi}$ e zero è nell'ordine di $10^{-20}$, se ne scelgo 100, di $10^{-100}$

py_sin666.png (223.62 KiB) Visto 103264 volte

[Gianfranco]

Grazie Quelo.
Notevole python!