Infiniti cerchi

[Maurizio59]

All'interno di un cerchio di raggio 1 ci sono infiniti cerchi tangenti tra loro disposti come in figura.

Trova l'area colorata in verde.

[Quelo]

A me esce

$\displaystyle \frac{\pi(\pi^2-8)}{8}\simeq 0,73419$

[Gianfranco]

A me esce
$\displaystyle \frac{\pi(\pi^2-8)}{8}\simeq 0,73419$

Anche a me.
Il mio ragionamento è questo.
1) Alcune deduzioni geometriche semplici portano a calcolare il raggio del cerchio più piccolo dei primi quattro, che è 1/3.

soddycircles1.png (34.77 KiB) Visto 123891 volte

2) Per calcolare il raggio del cerchio successivo, si può applicare la formula dei "soddy circles"

soddycirclesformula1.png (10.12 KiB) Visto 123891 volte

soddycircles2.png (60.36 KiB) Visto 123891 volte

ottenendo che tale raggio misura 1/15.

soddycirclesformula2.png (19.03 KiB) Visto 123891 volte

3) Per calcolare il raggio dei cerchi via via più piccoli, si può applicare ricorsivamente la stessa formula.
Si ottiene la seguente sequenza di misure dei raggi:
1/3
1/15
1/35
1/63
1/99
1/143
1/195
1/255
...
$\dfrac {1}{(4n^2-1)}
$

4) L'area colorata di verde, dunque, dovrebbe essere:
$\displaystyle 2{\pi} \sum_{n=1}^{\infty }{\left. \frac{1}{16 {{n}^{4}}-8 {{n}^{2}}+1}\right.}$

Numericamente mi viene lo stesso risultato di Quelo, ma non mi viene in mente come trovare il risultato sintetico.

---
Comunque l'ho chiesto a Wolfram e il risultato è confermato.

soddycirclessomma1.png (90.85 KiB) Visto 123889 volte

[Maurizio59]

Bravi e veloci. Risultato corretto.

...
4) L'area colorata di verde, dunque, dovrebbe essere:
$\displaystyle 2{\pi} \sum_{n=1}^{\infty }{\left. \frac{1}{16 {{n}^{4}}-8 {{n}^{2}}+1}\right.}$

Numericamente mi viene lo stesso risultato di Quelo, ma non mi viene in mente come trovare il risultato sintetico.
---

La parte interessante del problema però è dimostrare la seguente sommatoria senza l'ausilio di WolframAlpha o altri programmi simili.

$\displaystyle 2{\pi} \sum_{n=1}^{\infty }{\left. \frac{1}{(4{{n}^{2}-1)}^{2}}\right.}=\frac{\pi^3}{8}-\pi$

[Quelo]

Ci provo per quanto le mie conoscenze mi consentono

Dobbiamo dimostrare che

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(4n^2-1)^2}}=\frac{\pi^2}{16}-\frac12$

Partiamo da questa scomposizione

$\displaystyle \frac{1}{(4n^2-1)^2}=\frac{1}{(2n+1)^2(2n-1)^2}=\frac14 \left[\frac{1}{(2n+1)}-\frac{1}{(2n-1)} \right]+\frac14 \left[\frac{1}{(2n+1)^2}+\frac{1}{(2n-1)^2} \right]$

Calcoliamo la sommatoria dei primi due termini considerando che

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{(2n+1)}-\frac{1}{(2n-1)} \right]=\frac13-1+\frac15-\frac13+\frac17-\frac15+\frac19-\frac17+\cdots=-1$

Per gli ultimi due termini abbiamo

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{(2n+1)^2}+\frac{1}{(2n-1)^2} \right]=2\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{(2n-1)^2}\right]-1$

Sfruttando la formula di Eulero

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\underbrace{2n-1}_{dispari})^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\underbrace{2n}_{pari})^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{24}=\frac{\pi^2}{8}$

Concludendo

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(4n^2-1)^2}}=-\frac14+\frac14\left[\frac{2\pi^2}{8}-1\right]=\frac{\pi^2}{16}-\frac12$

SE&O

Vi lascio un programma per testare la formula di Eulero (qualora ce ne fosse bisogno )

Decimal Basic

Codice: Seleziona tutto

LET p = 0
FOR x=1 TO 10000000
   LET p = p+1/(x^2)
NEXT  X
PRINT SQR(6*p)
END

Python

Codice: Seleziona tutto

(6*sum(1/x**2 for x in range(1, 10000000)))**.5

[Maurizio59]

Ci provo per quanto le mie conoscenze mi consentono
...

Prova superata con successo.

[Quelo]

Questa immagine è interessante
I numeri nei cerchi sono il rapporto tra il raggio del cerchio esterno e quello del cerchio numerato
La formula per il cerchio nello spazio fra 3 cerchi tangenti è quella riportata da Gianfranco
Ce n'è una anche per i cerchi nelle lunette?

[Gianfranco]

Ce n'è una anche per i cerchi nelle lunette?

Prima di tutto ti ringrazio e ti faccio i complimenti per la dimostrazione della formula co pi-greco!
Per quel che riguarda la tua domanda, se intendi il cerchio giallo nella figura, la formula per il raggio dovrebbe essere questa, da verificare.
Comunque, l'argomento è: soddy circles.

soddy_lunetta_f.png (4.96 KiB) Visto 123732 volte

Si parte dalla formula precedente e:
a) si cambia il segno di r1;
b) si cambia il segno della radice quadrata.
---

soddy_lunetta.png (41.42 KiB) Visto 123732 volte

[Maurizio59]

Quelo, se intendi il raggio dell'ennesimo cerchio della sequenza colorata in verde nella seguente figura

esso è legato al suo numero d'ordine n dalla relazione:
$$r_n=\frac{1}{n^2-2n+3}$$
Per n > 0, essa forma la successione:
$$r_1=\frac{1}{2}, r_2=\frac{1}{3}, r_3= \frac{1}{6}, r_4= \frac{1}{11}, r_5= \frac{1}{18}, r_6= \frac{1}{27}, r_7= \frac{1}{38}, r_8= \frac{1}{51}, r_9= \frac{1}{66}...$$