Etichette in disordine totale (logica epistemica)

[Gianfranco]

Un quesito presentato da Alberto Saracco su YouTube mi ha ispirato il seguente problemino di logica epistemica.
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Concetta ha sei sacchetti uguali, così composti:
- tre contengono solo palline di colore blu,
- due contengono solo palline di colore rosso,
- uno contiene metà palline di colore rosso e metà palline di colore blu.

Le sei etichette che illustrano il contenuto dei sacchetti sono in disordine totale: nessuna è applicata correttamente.
Concetta estrae una pallina a caso da un sacchetto a caso, osserva la pallina e dice:
"Ora so riordinare tutte le etichette e applicare a ciascun sacchetto la sua etichetta giusta."

Sapete dire di che colore è la pallina estratta?
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[panurgo]

Blu

[panurgo]

Blu

Volete la spiegazione?

[Gianfranco]

La risposta "blu" è esatta e la tua spiegazione mi interessa!

[panurgo]

I tre sacchetti contenenti solo palline blu sono etichettati due come rossi e uno come misto perché devono avere un'etichetta diversa da blu e ci sono solo quelle tre a disposizione.

Le tre etichette blu sono apposte sui due sacchetti contenenti solo palline rosse e sul sacchetto misto.

Se estraiamo una pallina da uno dei sacchetti etichettati come rossi o da quello etichettato come misto siamo certi che sia una pallina blu: questi tre sacchetti sono identificati.

Se estraiamo una pallina da uno dei sacchetti etichettati come blu essa può essere o blu o rossa: rossa non fornisce alcuna informazione in quanto tutti e tre i sacchetti contengono palline rosse; solo una pallina blu estratta da un sacchetto etichettato come blu consente di identificare il sacchetto misto.

Schematicamente:

Pallina blu + sacchetto etichettato come rosso: non informativa
Pallina blu + sacchetto etichettato come misto: non informativa
Pallina rossa + sacchetto etichettato come blu: non informativa
Pallina blu + sacchetto etichettato come blu: il sacchetto misto è identificato, quelli blu lo erano già e quelli rossi sono i due che restano.

Poiché Concetta dichiara di aver identificato i sacchetti deve aver pescato una pallina blu da un sacchetto etichettato come blu: quindi blu.

P.S.: il fatto che la pallina sia stata estratta "a caso" da un sacchetto preso "a caso" è irrilevante

[Gianfranco]

P.S.: il fatto che la pallina sia stata estratta "a caso" da un sacchetto preso "a caso" è irrilevante

Grazie Panurgo, spiegazione perfetta!

P.S. Ero consapevole del tuo P.S.
A questo punto mi è venuto in mente che potrei modificare il testo del problema, lasciando invariata la soluzione e la sua spiegazione e chiedo il parere tuo e di tutti.

Ipotesi 1) Lasciare il testo così com'è (e in questo caso Concetta è un po' imprudente a scegliere un sacchetto a caso).
Ipotesi 2) Dire nel testo che Concetta sceglie un sacchetto, senza ulteriori specificazioni, ed estrae una pallina a caso da quel sacchetto (e in questo caso Concetta avrebbe un comportamento più intelligente).

[panurgo]

Concetta potrebbe scegliere "a caso" con una distribuzione non uniforme sui sacchetti

$\begin{array}{l|l|c}
\text{Sacchetto} & \text{Etichetta} & \text{Pr} \\
\hline
\text{Blu 1} & \text{Rosso} & 0 \\
\text{Blu 2} & \text{Rosso} & 0 \\
\text{Blu 3} & \text{Misto} & 0 \\
\text{Rosso 1} & \text{Blu} & 1/3 \\
\text{Rosso 2} & \text{Blu} & 1/3 \\
\text{Misto} & \text{Blu} & 1/3
\end{array}$