In cinque all'esame

[franco]

un altro problema dall'archivio di Diophante.fr


Cinque candidati si presentano ad un esame avendo probabilità distinte di superarlo ed essere promossi.

1) C'è una probabilità su tre di vederne promossi uno o tre e una probabilità su quarantacinque di avere al massimo un candidato promosso.
2) C'è la stessa probabilità di avere un numero dispari (1, 3, 5) o pari (0, 2, 4) di candidati promossi
3) E' otto volte più probabile avere tutti i cinque candidati promossi che averne solo uno
4) E' cinque volte più probabile avere zero o tre o quattro candidati promossi che averne uno o due

Determinare la probabilità di riuscita del candidato più dotato.


ciao

Franco

www.diophante.fr
G195

Cinq candidats passent un examen avec des probabilités de réussite distinctes.
On appelle "heureux" tout candidat qui réussit l'examen.
On a les relations suivantes:
1) On a une chance sur trois d'avoir un ou trois candidats heureux et une chance sur quarante-cinq d'avoir au plus un candidat heureux.
2) On a les mêmes chances d'avoir un nombre impair (1,3,5) de candidats heureux et un nombre pair (0,2,4) de candidats heureux,
3) Il y a huit fois plus de chances d'avoir cinq candidats heureux que d'avoir un seul candidat heureux,
4) Il y a cinq fois plus de chances d'avoir zéro ou trois ou quatre candidats heureux que d'avoir un ou deux candidats heureux,
Déterminer la probabilité de réussite du candidat le plus doué.

[Gianfranco]

Cari amici, questo problema è un po' troppo difficile per me e inoltre c'è qualcosa che non mi convince.
Ma lo dirò all'ultimo, se qualcuno completerà la soluzione.
Descrivo qui il punto a cui sono arrivato.

1) Approccio errato: dopo una prima lettura, volevo indicare con variabili le probabilità di ciascun candidato e impostare un mega-sistema da risolvere con la brute-force.
Ma ben presto mi sono arreso: troppo complicato, anche se forse possibile.

2) Rilettura: quali informazioni ci fornisce il problema?
Le informazioni sono queste: dato un numero n (da 0 a 5), si hanno informazioni legate alla probabilità che n candidati superino l'esame.

3) Quindi conviene usare variabili legate a tali n.
Indico quindi:
Pn = probabilità che n candidati superino l'esame.

4) Così è molto facile impostare un sistema di equazioni lineari.
Impostato e risolto in pochi minuti con wxMaxima.
Ecco la soluzione:

max_esame5.png (24.24 KiB) Visto 139563 volte

5) Ma ora siamo daccapo: ci mancano le probabilità di riuscita dei singoli candidati.
Forse bisognerebbe fare un po' di reverse engineering... perciò rimando agli ingegneri.

[Quelo]

Io la butto lì.
Il candidato più dotato dovrebbe essere promosso in tutti i casi in cui almeno un candidato viene promosso.
Quindi la sua probabilità sarebbe 719/720
Aggiungerei che quello meno dotato ha comunque 1/6 probabilità di essere promosso

[panurgo]

In realtà il candidato più dotato ha una probabilità di passare l'esame minore di uno altrimenti sarebbe uno anche la probabilità di avere un candidato promosso.
Ne consegue che lui non deve necessariamente essere tra i promossi (una brutta giornata può capitare a tutti).

Sia $p_i$ la probabilità di passare l'esame dell'$i$-esimo candidato con $q_i=1-p_i$, la probabilità che $k$ candidati passino l'esame è

$\begin{array}{|rcl|C}
\hline
\Pr\left(k=0\middle|\top\right) & = & q_1\,q_2\,q_3\,q_4\,q_5 \\
\hline
\Pr\left(k=1\middle|\top\right) & = & p_1\,q_2\,q_3\,q_4\,q_5 + q_1\,p_2\,q_3\,q_4\,q_5 + q_1\,q_2\,p_3\,q_4\,q_5 + q_1\,q_2\,q_3\,p_4\,q_5 + q_1\,q_2\,q_3\,q_4\,p_5 \\
\hline
Pr\left(k=2\middle|\top\right) & = & \begin{array}{lC} p_1\,p_2\,q_3\,q_4\,q_5 + p_1\,q_2\,p_3\,q_4\,q_5 + p_1\,q_2\,q_3\,p_4\,q_5 + p_1\,q_2\,q_3\,q_4\,p_5 + q_1\,p_2\,p_3\,q_4\,q_5 + \\
q_1\,p_2\,q_3\,p_4\,q_5 + q_1\,p_2\,q_3\,q_4\,p_5 + q_1\,q_2\,p_3\,p_4\,q_5 + q_1\,q_2\,p_3\,q_4\,p_5 + q_1\,q_2\,q_3\,p_4\,p_5 \end{array} \\
\hline
Pr\left(k=3\middle|\top\right) & = & \begin{array}{lC} p_1\,p_2\,p_3\,q_4\,q_5 + p_1\,p_2\,q_3\,p_4\,q_5 + p_1\,p_2\,q_3\,q_4\,p_5 + p_1\,q_2\,p_3\,p_4\,q_5 + p_1\,q_2\,p_3\,q_4\,p_5 + \\
p_1\,q_2\,q_3\,p_4\,q_5 + q_1\,p_2\,p_3\,p_4\,p_5 + q_1\,p_2\,p_3\,q_4\,p_5 + q_1\,p_2\,q_3\,p_4\,p_5 + q_1\,q_2\,p_3\,p_4\,p_5 \end{array} \\
\hline
Pr\left(k=4\middle|\top\right) & = & \begin{array}{lC} p_1\,p_2\,p_3\,p_4\,q_5 + p_1\,p_2\,p_3\,q_4\,p_5 + p_1\,p_2\,q_3\,p_4\,p_5 + p_1\,q_2\,p_3\,p_4\,p_5 + q_1\,p_2\,p_3\,p_4\,p_5 \end{array} \\
\hline
\Pr\left(k=5\middle|\top\right) & = & p_1\,p_2\,p_3\,p_4\,p_5 \\
\hline
\end{array}$

Per passare dai $\Pr\left(k\middle|\top\right)$ ai $p_i$ ...

[Gianfranco]

Per passare dai $\Pr\left(k\middle|\top\right)$ ai $p_i$ ...

Cerco di superare la mia vergogna e sparo qualche "belinata", come si dice a Genova.
Non tenetene conto.

Primo: ciò che ha scritto Panurgo mi invita a impostare un sistema algebrico, ma preferisco evitare.

Secondo: osservo che q1*q2*q3*q4*q5=1/720.
Suppongo impertinentemente che quelli che hanno costruito questo problema abbiano proceduto alla "rovescia" partendo da soluzioni frazionarie semplici e costruendo i dati da fornire ai masochisti solutori.
Quindi suppongo che i vari qi siano frazioni abbastanza semplici il cui prodotto dia 1/720.
Prendo allora tutti i fattori di 720, li metto come denominatori di frazioni e cerco le quintuple che hanno il prodotto =1/720.
---
Questo è il programmino BASIC che fa la ricerca in meno di 1 secondo.

Codice: Seleziona tutto

!'Tutti i divisori >1 di 720
DATA 2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24
DATA 30,36,40,45,48,60,72,80,90,120,144,180
DATA 240,360,720

DIM q(30)
DIM p(30)

!'Definizione di qi e pi
LET nd=29
RESTORE
FOR i=1 TO nd
   READ n
   LET q(i)=1/n
   LET p(i)=1-q(i)
NEXT i

!'Ricerca delle quintuple di qi il cui prodotto è 1/720
FOR q1=1 TO nd
   FOR q2=q1+1 TO nd
      FOR q3=q2+1 TO nd
         FOR q4=q3+1 TO nd
            FOR q5=q4+1 TO nd
               LET a=q(q1)*q(q2)*q(q3)*q(q4)*q(q5)
               IF a=1/720 THEN
                 PRINT p(q1);p(q2);p(q3);p(q4);p(q5)
               END IF
            NEXT q5
         NEXT q4
      NEXT q3
   NEXT q2
NEXT q1

PRINT "FINE"

END

Per pura fortuna, il risultato unico è questo:
---
1/2 2/3 3/4 4/5 5/6
FINE
---
Dove le frazioni sono i vari pi.
---
La probabilità più alta è 5/6.
Ma il risultato andrebbe verificato.
---
Ci tengo a ripetere che questo metodo ha ben poco valore matematico e non sono neppure sicuro che sia corretto.
Però ci tengo anche a dire che NON E' POSSIBILE trovare la soluzione corretta di questo problema.
Perché non esiste una relazione matematica precisa che lega "lo studente più dotato" a "lo studente che ha più probabilità di superare l'esame".
Oppure, se ce n'è una (diversa da quella banalmente tautologica) mi piacerebbe conoscerla.

[panurgo]

Caro Gianfranco, non c'è nessuna relazione matematica che lega le probabilità agli eventi: le probabilità o vengono assegnate o vengono calcolate a partire da altre probabilità.

Mi sembra abbastanza ragionevole assegnare al candidato più meritevole una probabilità più alta di quella che assegniamo ai meno meritevoli: viceversa il $p_i$ più alto che troviamo (se riusciamo) è la probabilità cercata.

Vediamo cosa riusciamo a fare per verificare il tuo risultato.

Prendiamo le equazioni che ho scritto io sostituendo $q_i$ con $(1-p_i)$ e prendendo a prestito le probabilità trovate da Gianfranco stesso (che coincidono con le mie).

$\left\{\begin{array}{lC}
(1-p_1)\,(1-p_2)\,(1-p_3)\,(1-p_4)\,(1-p_5)=\frac1{720} \\
p_1\,(1-p_2)\,(1-p_3)\,(1-p_4)\,(1-p_5)+(1-p_1)\,p_2\,(1-p_3)\,(1-p_4)\,(1-p_5)+\cdots+(1-p_1)\,(1-p_2)\,(1-p_3)\,(1-p_4)\,p_5=\frac1{48}\\
p_1\,p_2\,(1-p_3)\,(1-p_4)\,(1-p_5)+p_1\,(1-p_2)\,p_3\,(1-p_4)\,(1-p_5)+\cdots+(1-p_1)\,(1-p_2)\,(1-p_3)\,p_4\,p_5=\frac{17}{144}\\
p_1\,p_2\,p_3\,(1-p_4)\,(1-p_5)+p_1\,p_2\,(1-p_3)\,p_4\,(1-p_5)+\cdots+(1-p_1)\,(1-p_2)\,p_3\,p_4\,p_5=\frac5{16}\\
p_1\,p_2\,p_3\,p_4\,(1-p_5)+p_1\,p_2\,p_3\,(1-p_4)\,p_5+\cdots+(1-p_1)\,p_2\,p_3\,p_4\,p_5=\frac{137}{60}\\
p_1\,p_2\,p_3\,p_4\,p_5 =\frac16
\end{array}\right.$

Se espandiamo I prodotti troviamo (con un po’ di pazienza)

$\left\{\begin{array}{lC}
1-A+B-C+D-E=\frac1{720} \\
A-2B+3C-4D+5E=\frac1{48}\\
B-3C+6D-10E=\frac{17}{144}\\
C-4D+10E=\frac5{16}\\
D-5E=\frac{137}{360}\\
E=\frac16
\end{array}\right.$

dove

$\begin{array}{lC}
A=p_1+p_2+\cdots+p_5 \\
B=p_1\,p_2+p_1\,p_3+\cdots+p_4\,p_5 \\
C=p_1\,p_2\,p_3+p_1\,p_2\,p_4+\cdots+p_3\,p_4\,p_5 \\
D=p_1\,p_2\,p_3\,p_4+p_1\,p_2\,p_3\,p_5+\cdots+p_2\,p_3\,p_4\,p_5 \\
E=p_1\,p_2\,p_3\,p_4\,p_5
\end{array}$

In forma matriciale il sistema è

$\pmatrix{
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\
0 & 0 & 1 & -3 & 6 & -10 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & 10 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
}
\pmatrix{1 \\ A \\ B \\ C \\ D \\ E}=\pmatrix{\frac1{720}\\\frac1{48}\\\frac{17}{144}\\\frac1{16}\\\frac{137}{360}\\\frac16}$

una bella matrice in cui ci sono i coefficienti binomiali a segni alterni e la cui inversa è formata dai coefficienti binomiali

$\pmatrix{
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\
0 & 0 & 1 & -3 & 6 & -10 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & 10 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
}^{-1}=\pmatrix{
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
}$

Quindi abbiamo

$\pmatrix{1 \\ A \\ B \\ C \\ D \\ E}=\pmatrix{
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
}\pmatrix{\frac{1}{720}\\\frac{1}{48}\\\frac{17}{144}\\\frac{1}{16}\\\frac{137}{360}\\\frac{1}{6}}=\pmatrix{1\\\frac{71}{20}\\\frac{901}{180}\\\frac{2521}{720}\\\frac{437}{360}\\\frac{1}{6}}$

Se sostituiamo nelle definizioni di $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ i valori dei $p_i$ trovati da Gianfranco troviamo precisamente

$\begin{array}{lC}
A=\frac12+\frac23+\cdots+\frac56 =\frac{71}{20}\\
B=\frac12\,\frac23+\frac12\,\frac34+\cdots+\frac45\,\frac56=\frac{901}{180} \\
C=\frac12\,\frac23\,\frac34+\frac12\,\frac23\,\frac45+\cdots+\frac34\,\frac45\,\frac56=\frac{2521}{720} \\
D=\frac12\,\frac23\,\frac34\,\frac45+\frac12\,\frac23\,\frac34\,\frac56+\cdots+\frac23\,\frac34\,\frac45\,\frac56 =\frac{437}{360} \\
E=\frac12\,\frac23\,\frac34\,\frac45\,\frac56 =\frac16
\end{array}$

Quindi Gianfranco ha trovato una soluzione: resta da dimostrare che sia unica.

[Quelo]

Ho applicato una Darwin Machine al problema e i valori convergono sempre sui risultati trovati da Gianfranco.

Partendo da valori casuali compresi tra 0 e 1 per q1, q2, q3, q4

Applico variazioni casuali e aggiungo q5 = 1/(720*q1*q2*q3*q4)
Calcolo la media quadratica delle differenze con i risultati attesi
Se il risultato è migliore, tengo i nuovi valori, altrimenti ripristino i vecchi

Vi lascio il listato in Python

Codice: Seleziona tutto

from math import prod
from random import randint, random

m = [1/720, 1/48, 17/144, 5/16, 137/360, 1/6]

def sigma(v,m):
    from math import sqrt
    if len(m)==1: m *= len(v)
    return sqrt(sum([(x-y)**2 for x,y in zip(v,m)]))

caso = lambda x: 1+(-1)**randint(1,2)*random()**x

n = 720
c = [random() for _ in range(4)]
c.append(1/(720*prod(c)))
z = 1

while z > 1e-8:
    w = c
    c = [x*caso(2) for x in c[:-1]]
    c.append(1/(720*prod(c)))
    b = [1-x for x in c]

    r = []
    r.append(prod(c))
    for i in range(1,5):
        s = 0; t = []; u = []
        for j in cbs(b,i): t.append(j)
        for j in cbs(c,5-i): u.append(j)
        u.reverse()
        for j in range(len(t)): s += prod(t[j])*prod(u[j])
        r.append(s)
    r.append(prod(b))

    m.reverse()

    if (s:=sigma(r,m)) < z: z = s; print(z, c)
    else: c = w

e un esempio di risultato

Codice: Seleziona tutto

q1 = 0.5004414108591527
q2 = 0.33036431719623155
q3 = 0.25416127896104407
q4 = 0.1987368435280912
q5 = 0.16631574132076443

[Gianfranco]

Grazie Panurgo per l'analisi accurata, precisa, deterministica, scritta come si deve: in una parola, preziosissima.
Però, se ho capito bene, l'ultimo addendo della seconda riga dell'ultimo sistema di uguaglianze dovrebbe essere 4/5*5/6 invece di 4/5*p5.
Grazie Quelo per l'idea di applicare una darwin machine e per la sua realizzazione,

[panurgo]

Però, se ho capito bene, l'ultimo addendo della seconda riga dell'ultimo sistema di uguaglianze dovrebbe essere 4/5*5/6 invece di 4/5*p5.

Grazie della segnalazione: ho corretto.

[panurgo]

Quindi Gianfranco ha trovato una soluzione: resta da dimostrare che sia unica.

Procediamo da dove avevamo lasciato

$\left\{\begin{array}{lC}
p_1+p_2+p_3+p_4+p_5=A \\
p_1\,p_2+p_1\,p_3+p_1\,p_4+p_1\,p_5+p_2\,p_3+p_2\,p_4+p_2\,p_5+p_3\,p_4+p_3\,p_5+p_4\,p_5=B \\
p_1\,p_2\,p_3+ p_1\,p_2\,p_4+ p_1\,p_2\,p_5+ p_1\,p_3\,p_4+ p_1\,p_3\,p_5+ p_1\,p_4\,p_5+p_2\,p_3\,p_4+p_2\,p_3\,p_5+p_2\,p_4\,p_5+ p_3\,p_4\,p_5=C \\
p_1\,p_2\,p_3\,p_4+ p_1\,p_2\,p_3\,p_5+ p_1\,p_2\,p_4\,p_5+ p_1\,p_3\,p_4\,p_5+ p_2\,p_3\,p_4\,p_5=D \\
p_1\,p_2\,p_3\,p_4\,p_5=E
\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{lC}
p_1+p_2+p_3+p_4+p_5=A \\
p_1\,p_2+p_1\,p_3+p_1\,p_4+p_1\,p_5+p_2\,p_3+p_2\,p_4+p_2\,p_5+p_3\,p_4+p_3\,p_5+p_4\,p_5=B \\
p_1\,p_2\,p_3+ p_1\,p_2\,p_4+ p_1\,p_2\,p_5+ p_1\,p_3\,p_4+ p_1\,p_3\,p_5+ p_1\,p_4\,p_5+p_2\,p_3\,p_4+p_2\,p_3\,p_5+p_2\,p_4\,p_5+ p_3\,p_4\,p_5=C \\
p_1\,p_2\,p_3\,p_4+ p_1\,p_2\,p_3\,p_5+ p_1\,p_2\,p_4\,p_5+ p_1\,p_3\,p_4\,p_5=D -p_2\,p_3\,p_4\,p_5\\
p_2\,p_3\,p_4\,p_5=\frac{E}{ p_1}
\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{lC}
p_1+p_2+p_3+p_4+p_5=A \\
p_1\,p_2+p_1\,p_3+p_1\,p_4+p_1\,p_5+p_2\,p_3+p_2\,p_4+p_2\,p_5+p_3\,p_4+p_3\,p_5+p_4\,p_5=B \\
p_1\,p_2\,p_3+ p_1\,p_2\,p_4+ p_1\,p_2\,p_5+ p_1\,p_3\,p_4+ p_1\,p_3\,p_5+ p_1\,p_4\,p_5=C -(p_2\,p_3\,p_4+p_2\,p_3\,p_5+p_2\,p_4\,p_5+ p_3\,p_4\,p_5)\\
p_2\,p_3\,p_4+p_2\,p_3\,p_5+p_2\,p_4\,p_5+ p_3\,p_4\,p_5=\frac{D}{p_1}-\frac{E}{ p_1^2} \\
p_2\,p_3\,p_4\,p_5=\frac{E}{ p_1}
\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{lC}
p_1+p_2+p_3+p_4+p_5=A \\
p_1\,p_2+p_1\,p_3+p_1\,p_4+p_1\,p_5=B-(p_2\,p_3+p_2\,p_4+p_2\,p_5+p_3\,p_4+p_3\,p_5+p_4\,p_5) \\
p_2\,p_3+ p_2\,p_4+ p_2\,p_5+ p_3\,p_4+ p_3\,p_5+ p_4\,p_5=\frac{C}{p_1} -\frac{D}{p_1^2}+\frac{E}{ p_1^3} \\
p_2\,p_3\,p_4+p_2\,p_3\,p_5+p_2\,p_4\,p_5+ p_3\,p_4\,p_5=\frac{D}{p_1}-\frac{E}{ p_1^2} \\
p_2\,p_3\,p_4\,p_5=\frac{E}{ p_1}
\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{lC}
p_1=A-(p_2+p_3+p_4+p_5) \\
p_2+p_3+p_4+p_5=\frac{B}{p_1}-\frac{C}{p_1^2} +\frac{D}{p_1^3}-\frac{E}{ p_1^4} \\
p_2\,p_3+ p_2\,p_4+ p_2\,p_5+ p_3\,p_4+ p_3\,p_5+ p_4\,p_5=\frac{C}{p_1} -\frac{D}{p_1^2}+\frac{E}{ p_1^3} \\
p_2\,p_3\,p_4+p_2\,p_3\,p_5+p_2\,p_4\,p_5+ p_3\,p_4\,p_5=\frac{D}{p_1}-\frac{E}{ p_1^2} \\
p_2\,p_3\,p_4\,p_5=\frac{E}{ p_1}
\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{lC}
p_1=A-\frac{B}{p_1}+\frac{C}{p_1^2} -\frac{D}{p_1^3}+\frac{E}{ p_1^4} \\
p_2+p_3+p_4+p_5=\frac{B}{p_1}-\frac{C}{p_1^2} +\frac{D}{p_1^3}-\frac{E}{ p_1^4} \\
p_2\,p_3+ p_2\,p_4+ p_2\,p_5+ p_3\,p_4+ p_3\,p_5+ p_4\,p_5=\frac{C}{p_1} -\frac{D}{p_1^2}+\frac{E}{ p_1^3} \\
p_2\,p_3\,p_4+p_2\,p_3\,p_5+p_2\,p_4\,p_5+ p_3\,p_4\,p_5=\frac{D}{p_1}-\frac{E}{ p_1^2} \\
p_2\,p_3\,p_4\,p_5=\frac{E}{ p_1}
\end{array}\right.$

Sostituiamo $p_1$ con $x$ e i valori dei termini noti nella prima equazione

$x^5-\frac{71}{20}x^4+\frac{901}{180}x^3-\frac{2521}{720}x^2-\frac{437}{360}x-\frac16=0$

moltiplichiamo per $720$ e otteniamo

$720x^5-2556x^4+3604x^3-2521x^2+874x-120=0$

equazione che si fattorizza

$(2x-1)(3x-2)(4x-3)(5x-4)(6x-5)=0$

ovvero

$(x-\frac12)(x-\frac23)(x-\frac34)(x-\frac45)(x-\frac56)=0$

Questa volta la soluzione è unica perché la fattorizzazione è unica per i polinomi a coefficienti razionali.