Cerchi in un rettangolo

[Maurizio59]

Questo problema di geometria è tratto dal sito Diophante.fr .
Esso è contrassegnato dalla sigla D4937 ed è abbastanza ostico [****].

Ecco una mia personale rielaborazione in due dimensioni.

All'interno di un rettangolo di altezza 2 e base n (n è un numero naturale) si possono facilmente inserire 2n cerchi di diametro unitario.
Dimostra che, oltre un certo valore di n, all'interno del rettangolo si possono inserire 2n + 1 cerchi.
Trova il valore minimo di n.

[Gianfranco]

Ho trovato delle fiches in un cassetto e ho fatto questa prova.
Questa potrebbe essere la strada giusta?
I dischi sono sistemati in un corridoio di larghezza 2 diametri.

fiches.jpg (27.06 KiB) Visto 103897 volte

[Maurizio59]

Penso che la strada sia quella giusta.
La tua disposizione "a rombi" può essere divisa in rettangoli uguali di base k e altezza 2 come in figura.

Applicando semplici proprietà trigonometriche si trova $k=\frac 1{\sqrt3}+\sqrt2 = 1.99156...$
Osservando che ogni rettangolo contiene quattro cerchi possiamo calcolare la densità di impacchettamento. Essa è: $$d_{rombo}=\frac{\pi}{2k}=\frac{\pi}{\frac{2}{\sqrt3}+2\sqrt2}=0.7887... $$ Questa densità è maggiore di quella della semplice disposizione "a quadrati" che è $d_{quadrato}=\frac{\pi}{4}=0.785398...$ per cui, per un numero sufficientemente elevato di cerchi, essa compensa la bassa densità che si ha alle due estremità del rettangolo.
Ad esempio con 400 cerchi si formano 100 rombi e la lunghezza (per eccesso) della base del rettangolo diventa 1/2 + 100k = 199.656...
Essa è minore di 200 che è la lunghezza della base che si ottiene con la disposizione "a quadrati".

[franco]

Applicando l'approssimazione proposta da Maurizio e lavorando di forza bruta, mi risulta che il rettangolo più piccolo con base intera $n$ in cui il numero di cerchi disposti a rombi è $> 2n$ si ha per $n=355$.

Magari può essere interessante calcolare il valore esatto di $a$ per vedere se anche con base $n=353$ ce la facciamo ...

cerchirett.png (134.35 KiB) Visto 102822 volte

EDIT:
Il testo del quesito parla di $2n+1$ cerchi nel rettangolo $nx2$.
Per $n=355$ in realtà i cerchi sono $2n+2$

[Maurizio59]

Io ho trovato un impacchettamento più efficiente di quello "a rombo".
Disponiamo i cerchi "a triangolo" nel modo illustrato in figura.

.
Dividendo il rettangolo in parti uguali di base k e altezza 2 e applicando semplici considerazioni geometriche si trova:
$$k= \frac12+\sqrt{\sqrt3-\frac34}=1.49098...$$ Ogni rettangolo di base k contiene tre cerchi per cui la densità diventa:

$$d_{triangolo} = \frac{3\pi}{8k}=0.790147...$$

che è maggiore della disposizione "a rombo" trovata in precedenza...

[franco]

... anche in questo caso, con un pochino di forza bruta si arriva alla soluzione:
n=169 -> c=339 (uno in più rispetto alla disposizione in colonne)

[franco]

... anche in questo caso, con un pochino di forza bruta si arriva alla soluzione:
n=169 -> c=339 (uno in più rispetto alla disposizione in colonne)

A ripensarci un attimo, ci sta un cerchio in più anche se la scatola ha base n=168 (almeno credo)

[Maurizio59]

Io, per trovare il valore minimo di n ho ragionato nel seguente modo.
Consideriamo 2n + 1 cerchi (numero dispari e multiplo di tre) disposti come in figura.

La base del rettangolo è:
$$b=\frac{2n+1}{3}k+\frac12$$ Il testo del problema impone la condizione n > b per cui si ha:
$$n>\frac{2n+1}{3}k+\frac12$$ che equivale a:
$$n>\frac{3+2k}{6-4k}$$ cioè numericamente deve essere n > 165.885...
Verifichiamo la disuguaglianza per n = 166 (333 cerchi). La base del rettangolo diventa b = 111k + 1/2 = 165.9993...