Parcheggio selvaggio!

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franco
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Parcheggio selvaggio!

Messaggio da franco »

Ho trovato su internet questo grazioso problema che sembrerebbe inventato da qualche mio concittadino:
Immagine

Una via è lunga a sufficienza da consentire il parcheggio esattamente a 4 auto.
Gli automobilisti però hanno la brutta abitudine di parcheggiare in maniera assolutamente casuale, senza interessarsi minimamente del fatto che qualcun altro voglia fare altrettanto (ma anche senza impegnarsi ad impedirlo).
Qual'è il valore atteso del numero di auto che trovano parcheggio nella via?

Naturalmente si considerino le auto tutte di uguale lunghezza e si ipotizzi pure che non occorra alcuno spazio per le manovre :wink:

Ciao!
Franco

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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

rispondo solo per dare alcuni suggerimenti (peraltro non richiesti da nessuno):
per semplificare e ridurre "ai minimi termini" il quesito, penso si possa
-trasformare la strada in un segmento di lunghezza 4
-considerare invece delle uto lunghe 1, il loro "punto medio"
-mettere la condizione che ogni punto-auto successivo al primo debba posizionarsi a distanza superiore a 1 rispetto ai "punti-macchna" già parcheggiat
-accorciare la strada considerando solo un segmento di lunghezza 3 (corrispondente al tratto 0,5 - 3,5 )

passando ad iniziare la simulazione, abbiamo che:
- la prima "auto-punto" si ferma ,a caso in un qualsiasi punto tra 0,5 e 3,5 della strada
- se parcheggia tra 1,500001 e 2,49999 il gioco è risolto con un bel 3, perchè alle auto successive non è data scelta (e questa evenienza è "quasi" pari a 1/3)
- solo se la prima auto si ferma esattamente su 0,5 o 1,5 o 2,5 o 3,5 e le successive a loro volta su uno di questi punti, arriveremo a 4 ( e questa evenineza è "quasi" pari a zero)
- non esistono situazioni in cui la prima auto impedisce il parcheggio alla seconda
- nei restanti 2/3 dei casi ("quasi") la soluzione oscillerà per forza tra 2 e 3
- prendendo un valore medio di 2,5 arriveremmo ad un risultato finale di 8/3 = 2,6667
- per amore di Fibonacci, arrotondo a 2,618033....

(non prendetemi sul serio; sono o non sono il profeta della matematica approssimativa ?)
Enrico

franco
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Messaggio da franco »

Come approssimazione non c'è malaccio!

Stavolta però mi sà che Fibonacci si riposa.

Ciao
Franco

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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

proseguo, sempre ad occhio
Abbiamo preso in esame 1/3 dei casi di parcheggio della prima auto.
Passiamo a vedere che succede se il primo si posiziona un poco meno centralmente: nel mio schema, significa tra 0,5 e 1,49999 o tra 2,50001 e 3,5
Le due zone sono simmetriche, per cui ne esaminiamo una, quella di destra (verso 3,5)
- dopo il primo parcheggio, rimangono due tratti di strada libera, quello di destra sempre più corto, e inservibile, e quello di sinistra sempre più abbondante, potenzialmente capace di ospitare due nuovi arrivi.
- via via che ipotizziamo che il punto-macchina della prima auto si sposta verso destra (2,6...2,7...2,8....)lo spazio disponibile a sinistra si allarga in modo proporzionale. Dalla lunghezza 1 (tra 0,5 e 1,5) arriva fino a lunghezza 2, invadendo lo spazio centrale.
- solo se la seconda macchina va a parcheggiare in due tratti del pezzo lungo di strada, lascerà posto per la terza.
- i due tratti "utili" sono la parte eccedente 1,5 che via via si allunga e una zona gemella che parte da 0,5
(es.: se la prima si mette su 2,7; a sinistra resta llibero il tratto 0,5 --- 1,7 di cui sono utili i tratti 0,5---0,7 e 1,5---1,7 per un totale di 4/12-
se la prima si pone in 3,3, lo spazio a sinistra si dilata da 0,5 a 2,3 di cui "buoni" i tratti 0,5---1,3 e 1,5---2,3 che fa 16/18 )
Enrico

Sancho Panza
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Messaggio da Sancho Panza »

Potrebbe essere:

$3 - \frac{2}{3}\ln 2$

:?: :?: :?:

franco
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Messaggio da franco »

Potrebbe essere, ma non è la soluzione che risulta a me!

Peraltro sulla mia soluzione non sono disposto a mettere la mano sul fuoco per cui prova ad esporre il tuo ragionamento che ci lavoriamo :?
Franco

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Sancho Panza
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Grazie

Messaggio da Sancho Panza »

Ciao Franco,
ti sono grato perché invitandomi a spiegare la mia soluzione, mi hai permesso di accorgermi di un errore di calcolo che avevo commesso nel risolvere questo problema. :oops:

Riporto qui sotto il mio metodo (con la soluzione corretta):

I posti auto disponibili sono 4, dunque ci sono solo 3 casi possibili:

A) La prima auto è parcheggiata tra il primo e il secondo posto
B) La prima auto è parcheggiata tra il secondo e il terzo posto
C) La prima auto è parcheggiata tra il terzo e il quarto posto

(Infatti la probabilità che la prima auto sia parcheggiata esattamente su uno solo dei 4 posti disponibili è uguale a zero).

Nel caso B) resta un posto libero a destra e uno a sinistra. Totale: 3 auto parcheggiate

Nel caso A) e nel caso C)
da un lato non resta posto libero per un'altra auto;
mentre dall'altro lato, il posto libero è uguale a (2 + x) con x che varia da 0 a 1, quindi lo spazio tra la prima macchina parcheggiata e la seconda varierà in modo uniforme tra 0 e (1 + x)
Se lo spazio tra le due macchine è minore di x, vi è lo spazio per parcheggiare una terza macchina a destra o a sinistra; se lo spazio tra le due macchine è maggiore di 1, vi è lo spazio per parcheggiare una terza macchina tra le prime due.
Quindi, la probabilità che la seconda macchina lasci lo spazio libero per una terza macchina è:
$\frac{{2*x}}{{1 + x}}$
Siccome x varia in modo uniforme tra 0 e 1, devo calcolare: $\int\limits_0^1 {\frac{{2*x}}{{1 + x}}dx = } \int\limits_0^1 {2dx - \int\limits_0^1 {\frac{2}{{1 + x}}dx = 2 - 2\ln (1 + 1) = 2 - 2\ln (2)} }$
La probabilità che ci stiano solo 2 macchine sarà quindi:
$1 - (2 - 2\ln (2)) = 2\ln (2) - 1$
8)
Numero medio di auto parcheggiate:
$\frac{1}{3}*3 + \frac{2}{3}*2*\left( {2\ln (2) - 1} \right) + \frac{2}{3}*3*(2 - 2\ln (2)) = 1 + \frac{4}{3}*\left( {2\ln (2) - 1} \right) + 2*(2 - 2\ln (2))$
$1 + \frac{8}{3}*\ln (2) - \frac{4}{3} + 4 - 4\ln (2) = \frac{{11}}{3} - \frac{4}{3}\ln (2) = \frac{{11 - 4\ln (2)}}{3} = 2,74247...$


Grazie Franco :D

franco
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Messaggio da franco »

Figurati, grazie a te per l'eccellente risoluzione di questo problema.

La tua soluzione, oltre che essere esatta, è molto più elegante sia di quella "ufficiale" sul sito dove ho pescato questo problema, sia della mia che consisteva in un gran numero di fogli scarabocchiati e di volta in volta verificati con simulazioni in excel!

ciao
Franco

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