Esagoni in un quadrato

[Maurizio59]

All'interno di un quadrato di lato 1 ci sono n esagoni regolari uguali.
Trova il lato massimo degli esagoni nei casi n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

[Quelo]

n=1

Esagono in qudrato.png (44.86 KiB) Visto 79900 volte

$\displaystyle AF=\frac{FG}{\sqrt{2}}; \quad \displaystyle FL=\frac{\sqrt{3}FH}{2}; \quad \displaystyle FM=\frac{FL}{\sqrt{2}}; \quad \displaystyle AB=AF+2FM=1$
$\displaystyle FG=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}=0,5176; \quad A_{hex}=3\sqrt{3}-\frac92 = 0,696$

[Maurizio59]

Bene Quelo. Il caso n = 1 è risolto.

[Gianfranco]

Cari amici, ecco le prime due idee che mi sono venute in mente dopo colazione.
Buona giornata a tutti!

esagoninqua.png (28.34 KiB) Visto 79672 volte

P.S. Maurizio59, il problema sul triangolo equilatero in 5 parti attende ancora il miglioramento a cui hai accennato. Io non sono riuscito a fare meglio. Sono curioso...

[Maurizio59]

Gianfranco, la configurazione con n = 3 si può migliorare mentre quella con n = 4 è giusta. Mancano però i valori numerici.

[Gianfranco]

Mancano però i valori numerici.

Hai ragione, ho tracciato soltanto due ipotesi veloci, a occhio, senza fare misure precise.
Comunque, nella soluzione con 4 esagoni, gli esagoni sono ruotati di circa 15°.
Nella soluzione con 3 esagoni avanza un po' di spazio in larghezza. Si potrebbero staccare un briciolo i due esagoni alla base e abbassare un po' l'esagono al vertice in modo che gli esagoni siano un po' più grandi ERRATO la terna sia inscritta in un quadrato leggermente più piccolo ERRATO.

[Maurizio59]

... nella soluzione con 4 esagoni, gli esagoni sono ruotati di circa 15°.

Esattamente 15°.

... Nella soluzione con 3 esagoni avanza un po' di spazio in larghezza. Si potrebbero staccare un briciolo i due esagoni alla base e abbassare un po' l'esagono al vertice in modo che la terna sia inscritta in un quadrato leggermente più piccolo.

Giusta osservazione, ma sono i 3 esagoni che diventano leggermente più grandi.

[Gianfranco]

ma sono i 3 esagoni che diventano leggermente più grandi.

Grazie, ho corretto.