Casa con giardino
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Casa con giardino
Una casa a base quadrata di lato 1 si trova al centro di un giardino quadrato di lato 2. (I due quadrati hanno i lati paralleli)
Due persone si trovano in due punti a caso del giardino. Trova la probabilità che esse si possano vedere.
Due persone si trovano in due punti a caso del giardino. Trova la probabilità che esse si possano vedere.
Re: Casa con giardino
Così a occhio, direi che la probabilità è un po' maggiore di 5/12 ...
Suddividendo il giardino in 12 porzioni quadrate, possiamo consiserare che una delle due persone sia in un quadrato d'angolo (4/12) oppure in un quadrato non d'angolo (8/12).
Nel primo caso, la seconda persona sarà visibile se si trova in uno dei 7 quadrati indicati in giallo oppure nei triangoli rosa: Nel secondo caso, la seconda persona sarà visibile se si trova in uno dei 4 quadrati indicati in giallo oppure nei triangoli rosa: Considerando in prima battuta solo i quadrati gialli, la probabilità complessiva che i due si vedano è:
P=(4/12)*(7/12)+(8/12)*(4/12)=5/12 e questo è appunto il calcolo che ho fatto a mente, evidentemente inferiore alla probabilità complessiva reale.
Ho un'idea abbastanza chiara di come "gestire" i triangolini rosa ma ci vanno un paio di integrali e adesso non ho il tempo![Wink ;)](./images/smilies/icon_wink.gif)
Suddividendo il giardino in 12 porzioni quadrate, possiamo consiserare che una delle due persone sia in un quadrato d'angolo (4/12) oppure in un quadrato non d'angolo (8/12).
Nel primo caso, la seconda persona sarà visibile se si trova in uno dei 7 quadrati indicati in giallo oppure nei triangoli rosa: Nel secondo caso, la seconda persona sarà visibile se si trova in uno dei 4 quadrati indicati in giallo oppure nei triangoli rosa: Considerando in prima battuta solo i quadrati gialli, la probabilità complessiva che i due si vedano è:
P=(4/12)*(7/12)+(8/12)*(4/12)=5/12 e questo è appunto il calcolo che ho fatto a mente, evidentemente inferiore alla probabilità complessiva reale.
Ho un'idea abbastanza chiara di come "gestire" i triangolini rosa ma ci vanno un paio di integrali e adesso non ho il tempo
![Wink ;)](./images/smilies/icon_wink.gif)
Franco
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noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
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Re: Casa con giardino
Dopo un lungo lavoro (che posterò a breve) ottengo
$\displaystyle\frac{59-8\log2+10\log3}{192}\approx 33,56\,\%$
Doveva esserci un qualche modo brillante per risolvere questo problema?
P.S.: occhio franco che ti manca una terza possibilità...
$\displaystyle\frac{59-8\log2+10\log3}{192}\approx 33,56\,\%$
Doveva esserci un qualche modo brillante per risolvere questo problema?
P.S.: occhio franco che ti manca una terza possibilità...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Casa con giardino
Intendi questa? ... effettivamente mi complica un pochino la questione rispetto a quello che avevo pensato
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Franco
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Re: Casa con giardino
La tua soluzione è sicuramente sbagliata in quanto è minore del valore minimo (5/12 = 41.66%) trovato da Franco.
Direi di no poiché anche la mia soluzione è alquanto laboriosa.Doveva esserci un qualche modo brillante per risolvere questo problema?
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Re: Casa con giardino
Cari amici, sono contento di aver trovato finalmente le risposte di Franco e Panurgo.
Mi ero arreso perché il problema mi sembrava troppo complicato per le mie possibilità.
Avevo percorso intuitivamente la strada di Franco ma senza andare oltre una vaga approssimazione del risultato.
Forse, se fossero cerchi invece di quadrati sarebbe più semplice la cosa?
Sarebbe interessante una soluzione basata su una simulazione...
Mi ero arreso perché il problema mi sembrava troppo complicato per le mie possibilità.
Avevo percorso intuitivamente la strada di Franco ma senza andare oltre una vaga approssimazione del risultato.
Forse, se fossero cerchi invece di quadrati sarebbe più semplice la cosa?
Sarebbe interessante una soluzione basata su una simulazione...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
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Re: Casa con giardino
In effetti questo problema è la versione "quadrata" del problema da me proposto sotto il titolo "Probabilità geometrica".Gianfranco ha scritto: ↑mer mar 06, 2024 12:40 pm...
Forse, se fossero cerchi invece di quadrati sarebbe più semplice la cosa?
...
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Re: Casa con giardino
Post modificato dopo revisione calcoli
Mi ritrovo con il risultato di Maurizio
Per comodità facciamo un cambio di scala e portiamo il lato della casa a 2 e quello del giardino a 4.
Possiamo così dividere il giardino in quadrati 1x1
Pre ragioni di simmetria possiamo ragionare solo su un ottavo della superficie, quello delimitato dalle diagonali e dalle mediane
Indiviuduiamo 3 zone (come ha fatto Franco)
Quando ci si trova nel settore esterno (E) si vedono 7 quadrati più due triangoli, la cui area si cacola come
$\displaystyle A_T=7+\frac{x}{2(y+2)}+\frac{y}{2(x+2)}$
L'area media si ottiene con un integrale (qui ci affidiamo a Wolfram Alpha)
$\displaystyle A_E=\int_0^1{\int_0^y{A_T}\, dx}\, dy=\frac{14+\ln{(3)}-\ln{(2)}}{4}\simeq 3,6$
Trattandosi di una superficie pari a un mezzo l'area media in realtà è il doppio, ma a noi interessa il contributo della porzione evidenziata
Se ci fermassimo qui la probabilità per una persona che si trova nel quarato d'angolo sarebbe di circa 60% cioè di poco superiore a 7/12
Dal primo settore interno (J) si vedono sempre 7 quadrati aumentati dal tirangolo di destra e diminuiti da quello di sinistra
$\displaystyle A_T=7+\frac{y}{2(2-x)}-\frac{9x}{2y}$
$\displaystyle A_J=\int_0^1{\int_0^{\frac{y}{3}}{A_T}\, dx}\, dy=\frac{22-105\ln{(5)}+108\ln{(6)}}{12}\simeq 3,877$
Dal secondo settore interno (K) si vedono 4 quadrati più i due triangoli
$\displaystyle A_T=\frac{y}{2(1-x)}-\frac{y}{2(1+x)}$
$\displaystyle A_K=\int_0^1{\int_0^{1-\frac{y}{3}}{A_T}\, dx}\, dy=\frac{32+105\ln{(5)}-105\ln{(6)}}{12}\simeq 1,071$
L'area media vista da ogni punto del girdino sarà la somma dei tre contributi su un'area di tre mezzi:
$\displaystyle A=\frac23(A_E+A_J+A_K)=\frac{16+\ln{(3)}}{3}\simeq 5,699$
La probabilità che due persone si vedano in giardino sarà
$\displaystyle P=\frac{A}{12}=\frac{16+\ln{(3)}}{3}\simeq 47,496\%$
Mi ritrovo con il risultato di Maurizio
Per comodità facciamo un cambio di scala e portiamo il lato della casa a 2 e quello del giardino a 4.
Possiamo così dividere il giardino in quadrati 1x1
Pre ragioni di simmetria possiamo ragionare solo su un ottavo della superficie, quello delimitato dalle diagonali e dalle mediane
Indiviuduiamo 3 zone (come ha fatto Franco)
Quando ci si trova nel settore esterno (E) si vedono 7 quadrati più due triangoli, la cui area si cacola come
$\displaystyle A_T=7+\frac{x}{2(y+2)}+\frac{y}{2(x+2)}$
L'area media si ottiene con un integrale (qui ci affidiamo a Wolfram Alpha)
$\displaystyle A_E=\int_0^1{\int_0^y{A_T}\, dx}\, dy=\frac{14+\ln{(3)}-\ln{(2)}}{4}\simeq 3,6$
Trattandosi di una superficie pari a un mezzo l'area media in realtà è il doppio, ma a noi interessa il contributo della porzione evidenziata
Se ci fermassimo qui la probabilità per una persona che si trova nel quarato d'angolo sarebbe di circa 60% cioè di poco superiore a 7/12
Dal primo settore interno (J) si vedono sempre 7 quadrati aumentati dal tirangolo di destra e diminuiti da quello di sinistra
$\displaystyle A_T=7+\frac{y}{2(2-x)}-\frac{9x}{2y}$
$\displaystyle A_J=\int_0^1{\int_0^{\frac{y}{3}}{A_T}\, dx}\, dy=\frac{22-105\ln{(5)}+108\ln{(6)}}{12}\simeq 3,877$
Dal secondo settore interno (K) si vedono 4 quadrati più i due triangoli
$\displaystyle A_T=\frac{y}{2(1-x)}-\frac{y}{2(1+x)}$
$\displaystyle A_K=\int_0^1{\int_0^{1-\frac{y}{3}}{A_T}\, dx}\, dy=\frac{32+105\ln{(5)}-105\ln{(6)}}{12}\simeq 1,071$
L'area media vista da ogni punto del girdino sarà la somma dei tre contributi su un'area di tre mezzi:
$\displaystyle A=\frac23(A_E+A_J+A_K)=\frac{16+\ln{(3)}}{3}\simeq 5,699$
La probabilità che due persone si vedano in giardino sarà
$\displaystyle P=\frac{A}{12}=\frac{16+\ln{(3)}}{3}\simeq 47,496\%$
Ultima modifica di Quelo il dom mar 10, 2024 12:24 pm, modificato 1 volta in totale.
[Sergio] / $17$
Re: Casa con giardino
Grazie Sergio,
è quello che avrei voluto fare io ma non sono riuscito a dedicarci il tempo necessario (e forse non sarei nemmeno riuscito a risolvere gli integrali
![Wink ;)](./images/smilies/icon_wink.gif)
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Franco
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Re: Casa con giardino
Ci ho messo un po' a far quadrare i conti e mi sorprende che il risultato finale sia espresso da una formula così semplice.
Vi lascio i programmi per la simulazione
Python
Decimal Basic
Vi lascio i programmi per la simulazione
Python
Codice: Seleziona tutto
s = 30 # Fattore di scala, indica quanti punti consideriamo per un segmento di lunghezza 1
a1 = 1*s # Metà del lato della casa
a2 = 2*s # Metà del lato del giardino
p = 0 # persone visibili
q = 0 # persone nascoste
for y1 in range(a1,a2+1): # Coordinata y del punto 1 nel quadrante superiore destro (da 1 a 2)
print(y1)
for x1 in range(0,y1+1): # Coordinata y del punto 1 nel quadrante superiore destro (da 0 a y1)
for y2 in range(-a2,a2+1): # Coordinata y del punto 2 in tutto il giardino
for x2 in range(-a2,a2+1): # Coordinata x del punto 2 in tutto il giardino
if -a1<x2<a1 and -a1<y2<a1: continue # Se il punto 2 si trova in casa passa al prossimo punto
xs = (x2-x1)/s # Divido il segmento p1-p2 in s parti
ys = (y2-y1)/s
xp = x1
yp = y1
c = False
for i in range(s): # Verifico tutti i punti del segmento
xp += xs
yp += ys
c = -a1<xp<a1 and -a1<yp<a1
if c: # Se un punto è in casa aumento di 1 le persone nascoste e interrompo
q += 1
break
if not c: # Se nessun punto è in casa aumento di 1 le persone visibili
p += 1
print(round(p/(p+q)*100,3))
Codice: Seleziona tutto
LET s = 30
LET a1 = 1*s
LET a2 = 2*s
LET p = 0
LET q = 0
FOR y1 = a1 TO a2
PRINT y1
FOR x1 = 0 TO y1
FOR y2 = -a2 TO a2
FOR x2 = -a2 to a2
IF NOT (-a1<x2 AND x2<a1 AND -a1<y2 AND y2<a1) THEN
LET xs = (x2-x1)/s
LET ys = (y2-y1)/s
LET xp = x1
LET yp = y1
LET c = 0
FOR i = 1 TO s
LET xp = xp + xs
LET yp = yp + ys
IF -a1<xp AND xp<a1 AND -a1<yp AND yp<a1 THEN LET c = 1
IF c = 1 THEN
LET q = q + 1
EXIT FOR
END IF
NEXT I
IF c = 0 THEN LET p = p + 1
END IF
NEXT X2
NEXT Y2
NEXT X1
NEXT Y1
PRINT
PRINT p/(p+q)*100
END
[Sergio] / $17$
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Re: Casa con giardino
Ho generalizzato il problema con il lato della casa uguale a l e il lato del giardino uguale a L (l < L).
Ho trovato la seguente formula:
$$P(l,L)=\frac{4L^2+(L-l)^2ln(\frac{L+l}{L-l})}{4(L+l)^2}$$
Da questa formula si possono trarre alcune interessanti considerazioni:
-Il risultato per l = 1 e L = 2 coincide con quello trovato.
-Coincidono anche i limiti teorici (L = l, P = 1/4) (L >> l, P = 1).
-La probabilità è del 50% se L = 2.1536...l.
Ho trovato la seguente formula:
$$P(l,L)=\frac{4L^2+(L-l)^2ln(\frac{L+l}{L-l})}{4(L+l)^2}$$
Da questa formula si possono trarre alcune interessanti considerazioni:
-Il risultato per l = 1 e L = 2 coincide con quello trovato.
-Coincidono anche i limiti teorici (L = l, P = 1/4) (L >> l, P = 1).
-La probabilità è del 50% se L = 2.1536...l.