Casa con giardino

[Maurizio59]

Una casa a base quadrata di lato 1 si trova al centro di un giardino quadrato di lato 2. (I due quadrati hanno i lati paralleli)
Due persone si trovano in due punti a caso del giardino. Trova la probabilità che esse si possano vedere.

[franco]

Così a occhio, direi che la probabilità è un po' maggiore di 5/12 ...

Suddividendo il giardino in 12 porzioni quadrate, possiamo consiserare che una delle due persone sia in un quadrato d'angolo (4/12) oppure in un quadrato non d'angolo (8/12).
Nel primo caso, la seconda persona sarà visibile se si trova in uno dei 7 quadrati indicati in giallo oppure nei triangoli rosa:

casa1.png (4.84 KiB) Visto 54812 volte

Nel secondo caso, la seconda persona sarà visibile se si trova in uno dei 4 quadrati indicati in giallo oppure nei triangoli rosa:

casa2.png (3.42 KiB) Visto 54812 volte

Considerando in prima battuta solo i quadrati gialli, la probabilità complessiva che i due si vedano è:
P=(4/12)*(7/12)+(8/12)*(4/12)=5/12 e questo è appunto il calcolo che ho fatto a mente, evidentemente inferiore alla probabilità complessiva reale.

Ho un'idea abbastanza chiara di come "gestire" i triangolini rosa ma ci vanno un paio di integrali e adesso non ho il tempo

[panurgo]

Dopo un lungo lavoro (che posterò a breve) ottengo

$\displaystyle\frac{59-8\log2+10\log3}{192}\approx 33,56\,\%$

Doveva esserci un qualche modo brillante per risolvere questo problema?

P.S.: occhio franco che ti manca una terza possibilità...

[franco]

P.S.: occhio franco che ti manca una terza possibilità...

Intendi questa?

casa3.png (2.99 KiB) Visto 54787 volte

... effettivamente mi complica un pochino la questione rispetto a quello che avevo pensato

[Maurizio59]

Dopo un lungo lavoro (che posterò a breve) ottengo

$\displaystyle\frac{59-8\log2+10\log3}{192}\approx 33,56\,\%$

La tua soluzione è sicuramente sbagliata in quanto è minore del valore minimo (5/12 = 41.66%) trovato da Franco.

Doveva esserci un qualche modo brillante per risolvere questo problema?

Direi di no poiché anche la mia soluzione è alquanto laboriosa.

[Gianfranco]

Cari amici, sono contento di aver trovato finalmente le risposte di Franco e Panurgo.
Mi ero arreso perché il problema mi sembrava troppo complicato per le mie possibilità.
Avevo percorso intuitivamente la strada di Franco ma senza andare oltre una vaga approssimazione del risultato.
Forse, se fossero cerchi invece di quadrati sarebbe più semplice la cosa?
Sarebbe interessante una soluzione basata su una simulazione...

[Maurizio59]

...
Forse, se fossero cerchi invece di quadrati sarebbe più semplice la cosa?
...

In effetti questo problema è la versione "quadrata" del problema da me proposto sotto il titolo "Probabilità geometrica".

[Quelo]

Con una simulazione diretta non casuale, il risultato è 47,5%

[Maurizio59]

Con una simulazione diretta non casuale, il risultato è 47,5%

Ottima simulazione, Quelo.
Il valore esatto da me trovato è:
$$p=\frac{16+ln3}{36}=47.496\%$$

[Quelo]

Post modificato dopo revisione calcoli

Mi ritrovo con il risultato di Maurizio

Per comodità facciamo un cambio di scala e portiamo il lato della casa a 2 e quello del giardino a 4.
Possiamo così dividere il giardino in quadrati 1x1
Pre ragioni di simmetria possiamo ragionare solo su un ottavo della superficie, quello delimitato dalle diagonali e dalle mediane

Casa giardino 1.png (27.76 KiB) Visto 52976 volte

Indiviuduiamo 3 zone (come ha fatto Franco)

Casa giardino 2.png (52.98 KiB) Visto 52976 volte

Quando ci si trova nel settore esterno (E) si vedono 7 quadrati più due triangoli, la cui area si cacola come
$\displaystyle A_T=7+\frac{x}{2(y+2)}+\frac{y}{2(x+2)}$

L'area media si ottiene con un integrale (qui ci affidiamo a Wolfram Alpha)
$\displaystyle A_E=\int_0^1{\int_0^y{A_T}\, dx}\, dy=\frac{14+\ln{(3)}-\ln{(2)}}{4}\simeq 3,6$
Trattandosi di una superficie pari a un mezzo l'area media in realtà è il doppio, ma a noi interessa il contributo della porzione evidenziata
Se ci fermassimo qui la probabilità per una persona che si trova nel quarato d'angolo sarebbe di circa 60% cioè di poco superiore a 7/12

Casa giardino 3.png (52.29 KiB) Visto 52976 volte

Dal primo settore interno (J) si vedono sempre 7 quadrati aumentati dal tirangolo di destra e diminuiti da quello di sinistra
$\displaystyle A_T=7+\frac{y}{2(2-x)}-\frac{9x}{2y}$

$\displaystyle A_J=\int_0^1{\int_0^{\frac{y}{3}}{A_T}\, dx}\, dy=\frac{22-105\ln{(5)}+108\ln{(6)}}{12}\simeq 3,877$

Casa giardino 4.png (55.48 KiB) Visto 52065 volte

Dal secondo settore interno (K) si vedono 4 quadrati più i due triangoli
$\displaystyle A_T=\frac{y}{2(1-x)}-\frac{y}{2(1+x)}$

$\displaystyle A_K=\int_0^1{\int_0^{1-\frac{y}{3}}{A_T}\, dx}\, dy=\frac{32+105\ln{(5)}-105\ln{(6)}}{12}\simeq 1,071$

L'area media vista da ogni punto del girdino sarà la somma dei tre contributi su un'area di tre mezzi:
$\displaystyle A=\frac23(A_E+A_J+A_K)=\frac{16+\ln{(3)}}{3}\simeq 5,699$
La probabilità che due persone si vedano in giardino sarà
$\displaystyle P=\frac{A}{12}=\frac{16+\ln{(3)}}{3}\simeq 47,496\%$

[franco]

Post modificato dopo revisione calcoli

Mi ritrovo con il risultato di Maurizio

Per comodità facciamo un cambio di scala e portiamo il lato della casa a 2 e quello del giardino a 4.
Possiamo così dividere il giardino in quadrati 1x1
...

Grazie Sergio,
è quello che avrei voluto fare io ma non sono riuscito a dedicarci il tempo necessario (e forse non sarei nemmeno riuscito a risolvere gli integrali )

[Quelo]

Ci ho messo un po' a far quadrare i conti e mi sorprende che il risultato finale sia espresso da una formula così semplice.

Vi lascio i programmi per la simulazione

Python

Codice: Seleziona tutto

s = 30      # Fattore di scala, indica quanti punti consideriamo per un segmento di lunghezza 1
a1 = 1*s    # Metà del lato della casa
a2 = 2*s    # Metà del lato del giardino
p = 0       # persone visibili
q = 0       # persone nascoste
    
for y1 in range(a1,a2+1):                   # Coordinata y del punto 1 nel quadrante superiore destro (da 1 a 2)
    print(y1)
    for x1 in range(0,y1+1):                # Coordinata y del punto 1 nel quadrante superiore destro (da 0 a y1)
        for y2 in range(-a2,a2+1):          # Coordinata y del punto 2 in tutto il giardino
            for x2 in range(-a2,a2+1):      # Coordinata x del punto 2 in tutto il giardino
                if -a1<x2<a1 and -a1<y2<a1: continue    # Se il punto 2 si trova in casa passa al prossimo punto
                xs = (x2-x1)/s              # Divido il segmento p1-p2 in s parti
                ys = (y2-y1)/s
                xp = x1
                yp = y1
                c = False
                for i in range(s):          # Verifico tutti i punti del segmento
                    xp += xs
                    yp += ys
                    c = -a1<xp<a1 and -a1<yp<a1
                    if c:                   # Se un punto è in casa aumento di 1 le persone nascoste e interrompo
                        q += 1
                        break
                if not c:                   # Se nessun punto è in casa aumento di 1 le persone visibili
                    p += 1

print(round(p/(p+q)*100,3))

Decimal Basic

Codice: Seleziona tutto

LET s = 30
LET a1 = 1*s
LET a2 = 2*s
LET p = 0
LET q = 0
 
FOR y1 = a1 TO a2
   PRINT y1
   FOR x1 = 0 TO y1
      FOR y2 = -a2 TO a2
         FOR x2 = -a2 to a2
            IF NOT (-a1<x2 AND x2<a1 AND -a1<y2 AND y2<a1) THEN
               LET xs = (x2-x1)/s
               LET ys = (y2-y1)/s
               LET xp = x1
               LET yp = y1
               LET c = 0
               FOR i = 1 TO s
                  LET xp = xp + xs
                  LET yp = yp + ys
                  IF -a1<xp AND xp<a1 AND -a1<yp AND yp<a1 THEN LET c = 1
                  IF c = 1 THEN
                     LET q = q + 1
                     EXIT FOR
                  END IF
               NEXT I
               IF c = 0 THEN LET p = p + 1
            END IF
         NEXT X2
      NEXT Y2
   NEXT X1
NEXT  Y1

PRINT
PRINT p/(p+q)*100
END

[Maurizio59]

Ho generalizzato il problema con il lato della casa uguale a l e il lato del giardino uguale a L (l < L).
Ho trovato la seguente formula:
$$P(l,L)=\frac{4L^2+(L-l)^2ln(\frac{L+l}{L-l})}{4(L+l)^2}$$
Da questa formula si possono trarre alcune interessanti considerazioni:
-Il risultato per l = 1 e L = 2 coincide con quello trovato.
-Coincidono anche i limiti teorici (L = l, P = 1/4) (L >> l, P = 1).
-La probabilità è del 50% se L = 2.1536...l.