I quartetti di Thomas

[giobimbo]

Abbiamo una scacchiera nxn e 4xn pedine numerate.
Premesso che nelle caselle della diagonale principale non ci sono pedine, mettiamone 4 per colonna, 4 pedine col numero 1 nella prima colonna, 4 pedine col numero 2 nella seconda colonna, …, 4 pedine col numero n nell’ultima colonna. Invece in ogni riga devono esserci quattro pedine con numeri tutti diversi e non ci sono due righe uguali.

Diremo che la scacchiera è “poetica” se le somme dei quattro numeri di ogni fila danno sempre uno stesso numero k (la cosiddetta costante magica).
Un esempio con n=8 e k=18:

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Problema 1 (facile). Trovare una scacchiera poetica per n=10

Problema 2 (meno facile). Trovare una scacchiera poetica per n=12

[Maurizio59]

Ecco una soluzione per n = 10 e k = 22.

[giobimbo]

Bravo Maurizio59, il Problema 1 è stato risolto, aspetto per il Problema 2.

[Maurizio59]

Questa è una soluzione per n = 12 e k = 26.

[giobimbo]

Ottimo, direi, con questo abbiamo chiuso l'argomento del titolo, salvo eventuali commenti extra.
Sto preparando altre due cosette coi quartetti, il tempo di controllare e scrivere poi arrivo.

[Quelo]

Per trovare rapidamente una soluzione si può usare il seguente metodo, che chiamerò "riempimento a farfalla" (per n>=10)
Si tratta in sostanza di disegnare una schema a farfalla partendo da 1,2,n-1,n fino a (n/2)-1,(n/2),(n/2)+1,(n/2)+2
Per le prime quattro righe teniamo fermi gli estremi e stringiamo al centro: 1,3,n-2,n ; 1,4,n-3,n ; 1,5,n-4,n
A questo punto stringiamo gli estremi e ricominciamo.
Vediamo n=10 come esempio, in quanto il procedimento è lineare

n=10; k=22

Codice: Seleziona tutto

1   2                     9   10
1      3               8      10
1         4         7         10
1            5   6            10
   2   3               8   9   
   2      4         7      9   
   2         5   6         9   
      3   4         7   8      
      3      5   6      8      
         4   5   6   7         

Sarà quindi sufficiente riorganizzare le righe per non avere numeri sulla diagonale

Per n>10 le scalette al centro vanno rimodulate per evitare di avere più di 4 numeri in colonna

n=12; k=26

Codice: Seleziona tutto

1   2                           11  12
1      3                     10     12
1         4               9         12
1            5         8            12
   2      4               9      11   
   2         5         8         11   
   2            6   7            11   
      3   4               9   10      
      3      5         8      10      
      3         6   7         10      
         4      6   7      9         
            5   6   7   8            

n=14; k=30

Codice: Seleziona tutto

1   2                                 13   14
1      3                           12      14
1         4                     11         14
1            5               10            14
   2      4                     11      13   
   2         5               10         13   
   2            6         9            13   
      3      5               10      12      
      3         6         9         12      
      3            7   8            12      
         4      6         9      11         
         4         7   8         11         
            5      7   8      10            
               6   7   8   9                

n=16; k=34

Codice: Seleziona tutto

1   2                                       15   16
1      3                                 14      16
1         4                           13         16
1            5                     12            16
   2            6               11            15   
   2               7         10               15   
   2         5                     12         15   
      3         6               11         14      
      3            7         10            14      
      3               8   9               14      
         4   5                     12   13         
         4      6               11      13         
         4         7         10         13         
            5         8   9         12            
               6      8   9      11               
                  7   8   9   10                   

[Maurizio59]

Per trovare rapidamente una soluzione si può usare il seguente metodo, che chiamerò "riempimento a farfalla" (per n>=10)
...

Bravo Quelo. Bella generalizzazione.
A me sembra però che essa valga solo per n pari.
Per completare l'analisi ecco una soluzione per n = 9 (simil sudoku) e k = 20.

[Quelo]

Con n dispari c'è un elemento centrale che disturba la simmetria

Credo che la soluzione per n=9 sia unica, perché esistono solo 4 combinazioni di 4 cifre che contengono il 5 e la cui somma è 20
Per n>9 non c'è un'approccio generalizzato. Lo riempimento a farfalla ci viene incontro, ma bisogna sacrificare la simmetria

n = 9; k = 20

Codice: Seleziona tutto

1   2                       8   9         X       3   4       6   7        
1       3               7       9             X   3   4   5           8    
1           4           7   8             1   2   X                   8   9
1               5   6       8             1       3   X           7       9
    2   3           6           9         1           4   X       7   8    
    2       4   5               9             2       4   5   X           9
    2           5   6   7                     2   3           6   X       9
        3   4   5           8                 2           5   6   7   X   
        3   4       6   7                 1               5   6       8   X

n = 11; k = 24

Codice: Seleziona tutto

1   2                               10  11         X           4   5   6           9        
1       3                       9       11             X   3           6   7   8            
1           4               8           11         1   2   X                           10  11
1               5       7               11         1       3   X                   9       11
    2       4               8       10             1           4   X           8           11
    2           5       7           10             1               5   X   7               11
    2               6   7       9                          3       5   6   X           10    
        3       5   6               10                 2               6   7   X   9       
        3   4               8   9                      2       4               8   X   10    
        3           6   7   8                              3   4               8   9   X    
            4   5   6           9                      2           5      7            10   X

n = 13; k = 28

Codice: Seleziona tutto

1   2                                       12  13         X               5   6       8   9                
1       3                               11      13             X   3   4                       10  11        
1           4                       10          13         1   2   X                                   12  13
1                   6           9           12             1       3   X                           11      13
    2               6   7                       13         1           4   X                   10          13
    2               6       8               12                         4   5   X           9   10            
    2                   7   8           11                 1                   6   X       9           12    
        3   4                       10  11                     2               6   7   X                   13
        3       5               9       11                     2               6       8   X           12    
        3               7   8       10                             3       5               9   X   11        
            4   5       7                   12                     3               7   8       10  X        
            4   5               9   10                         2                   7   8           11  X    
                5   6       8   9                                      4   5       7                   12  X