En passant

[Br1]

Il triangolo marrone ha la base uguale a $\frac13$, mentre l'altezza
è $\frac{1}{12}$.
I due triangoli verdi (capovolti) hanno il punto in comune
che coincide con il baricentro del triangolo marrone e la
base di quest'ultimo è divisa dai loro vertici in tre parti
uguali.
La stessa cosa diciamo per i triangoli arancioni rispetto a
quelli verdi, per i triangoli azzurri rispetto a quelli arancioni
etc.

Immaginiamo, ora, di sommare tutti i perimetri degli infiniti
triangoli trovati in questo modo.

Quale numero si ottiene e perché?



.^.^.^.^.^



E poi ripropongo questa, che viene da qui.

Abbiamo $\/a, \/m, \/n \/\in\/ \mathbb{N}$, con $\/m\neq n$.
Dovremmo dire quali valori può assumere il massimo
comun divisore di $\large \/a^{\small 2^{\tiny m}}+1\/$ e $\large \/ a^{\small 2^{\tiny n}}+1\/$.

[delfo52]

un giorno ci spiegherai perchè il triangolo ha quelle misure e non, ad esempio, 4 e 1; o 1 e 1/4.....
A prima vista i perimetri totali dei successivi ordini n di triangoli stanno al perimetro del primo in relazione 2^n / 3^n
la somma dovrebbe derivare da
1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + 16/81 +....

[Br1]

un giorno ci spiegherai perchè il triangolo ha quelle misure e non, ad esempio, 4 e 1; o 1 e 1/4...

Pensavo proprio a te, Enrico, prima di postarlo,
e anche a un certo Leonardo...

Possiamo saltare il condizionale e dire il numero?

Magari, perché no?, con un endecasillabo

[Quelo]

"La somma è quel numero perfetto
che perfetto non è, questo va detto"

[Quelo]

[delfo52]

in realtà, conoscendo un poco, o crrdendo di conoscere, il tuo modus cogitandi, prima ancora di mettermi a fare i conti, un sospetto mi è venuto.
Poi, non essendo capace di manovrare gli strumenti matematici "ufficiali", sfruttando la mia capacità di calcolo mentale elementare ("più" e "per") ho fatto una simulazione virtuale partendo invece che da 1/3 (odio le frazioni) con un molto più simpatico e maneggevole 729
in pochi passi sono arrivato a circa 2172, aggiungendo termini via via decrescenti.... resteranno da sommare pochi elementi significativi, per un'altra quindicina di punti o poco più
Toh ! siamo quasi a 2187 !

[Quelo]

Considerato che il triangolo marrone ha un perimetro di $\frac{1}{3}+\frac{\sqr{5}}{6}$ e che la sommatoria proposta da Delfo converge a 3, come già detto, direi che la somma di tutti i perimetri vale $1+\frac{\sqr{5}}{2}\approx2.118$

Tra l'altro ho scoperto che $\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{j}{k})^n=\frac{k}{k-j}$ mi sapreste dire come si dimostra ?

SE&O

[Quelo]

[Br1]

Considerato che il triangolo marrone ha un perimetro di $\frac{1}{3}+\frac{\sqr{5}}{6}$ e che la sommatoria proposta da Delfo converge a 3, come già detto, direi che la somma di tutti i perimetri vale $1+\frac{\sqr{5}}{2}\approx2.118$

Bravo, Quelo, anche per gli endecasillabi

In sostanza, aggiungiamo all'unità la sua metà
(suddivisione immediata ma perfetta) e poi la
sua parte aurea (suddivisione meno immediata
ma non meno perfetta).

L'espressione che hai trovato è vera quando $\/\frac j k$
è, in valore assoluto, minore di 1, perché in
questo caso la serie geometrica converge.
Prendiamo la progressione geometrica finita:

$1, \/\frac j k,\/ \(\frac j k\)^2, \/\(\frac j k\)^3, \/ ... \/, \(\frac j k\)^n$,

sappiamo che la somma è: $\;\large \frac{1-\(\frac j k\)^{n+1}}{1-\frac j k}$.

Se il valore assoluto della ragione $\small \/\frac j k\/$ è minore
di 1, quando $\/n\/$ tende all'infinito il termine $\small \(\frac j k\)^{n+1}$
tende a zero e perciò ottieni il risultato che hai
scoperto.

Poi, non essendo capace di manovrare gli strumenti matematici "ufficiali", sfruttando la mia capacità di calcolo mentale elementare ("più" e "per") ...

Enrico, chiaramente a te non serve saper manovrare
gli strumenti "ufficiali" (ma ci sono davvero?), proprio
per niente

Servirebbe a me, probabilmente, avere un po' delle
tue felici e mai ovvie intuizioni



Sotto con l'altro!

[0-§]

Tra l'altro ho scoperto che $\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{j}{k})^n=\frac{k}{k-j}$ mi sapreste dire come si dimostra ?

Io di fronte a un problema del genere affronto la questione così: ho una somma infinita di termini in progressione geometrica, $\displaystyle \sum=1+q+q^2+q^3+...$. Porto a primo membro l'uno e raccolgo la $\displaystyle q$ a secondo, ottenendo $\displaystyle \sum-1=q(1+q+q^2+q^3+...=q\sum$. Da lì si ottiene $\displaystyle \sum \cdot (1-q)=1$, quindi finalmente $\displaystyle \sum=\frac{1}{1-q}$, da cui si può ottenere anche la tua formula per le frazioni. E' un metodo molto classico e arcinoto, ma ha il pregio di poter essere usato in molte situazioni dove compaiono somme infinite, di essere piuttosto semplice e (a mio modesto parere) un bell'esempio di ragionamento matematico.
En passant, noto magno *beep* gaudio che la mia soluzione di oggi pomeriggio era miracolosamente giusta. Eh, son soddisfazioni...

Saluti
0-§

P.S. Non ho rivisitato l'espressione inserendo una pesante imprecazione tra il "magno" e il "gaudio", è che la versione latina del nostro "con" viene censurata

[Br1]

En passant, noto magno *beep* gaudio ...

P.S. Non ho rivisitato l'espressione inserendo una pesante imprecazione tra il "magno" e il "gaudio", è che la versione latina del nostro "con" viene censurata

Se aggiungi uno spazio fra le lettere, Giovanni, e scrivi
così: C U M, il $\/$ *beep* $\/$ non compare.
Paradossalmente, in questo modo passerebbe di tutto...

Ciao

[Info]

Io userei il bbcode (interponi dei caratteri con size=1)

magno ciuim gaudio

per la cronaca
il tutto è scritto così

Codice: Seleziona tutto

c[size=1][color=#F7F4EA]i[/color][/size]u[size=1][color=#F7F4EA]i[/size][/color]m

[edited]
Per l'arancione il colore sarà FFE09F
vedete che è facile?