BASE CINQUE FORUM

Salve.
Vorrei proporre questo problemino:

Due amici A e B giocano ai dadi.
Entrambi mettono un euro sul tavolo.
A lancia un dado.
B lancia tre dadi e successivamente scarta il dado col punteggio maggiore e quello col punteggio minore trattenendo il terzo. (esempio coi punteggi 1, 2 e 3 il punteggio di B è 2, coi dadi 3, 5 e 5 il punteggio è 5, ecc.)
Vince, e incassa i due euro il giocatore col punteggio maggiore.
In caso di parità ognuno si riprende il suo euro.

Ad un certo punto A dice a B: "il gioco non mi sembra equo perché tu lanciando tre dadi hai più possibilità di ottenere un punteggio più alto. Ti propongo di darmi la vittoria anche nel caso di parità di punteggi".

Conviene a B accettare accettare questa proposta?

Immagino che la domanda sia da intendersi come:

B continua ad essere avvantaggiato anche con il metodo proposto da A?

(Secondo me, senza aver fatto alcun conto, non può mai risultare conveniente trasformare un pareggio in una sconfitta)

ciao

a me sembra che il gioco sia equo alle condizioni di partenza.

prima di fare i conti, ho pensato a che cosa cambierebbe se si cambiasse lo spirito della scommessa, facendo vincere il punteggio più basso.
il gioco è simmetrico.

Facendo i conti, un po' in fretta, mi viene che A vince/perde/pareggia con
1; 200/000/ 16
2; 160/ 16/ 40
3; 108/ 56/ 52
4; 56/108/ 52
5; 16/160/ 40
6; 000/200/ 16

I punteggi che può ottenere il giocatore A, lanciando un dado, sono tutti equiprobabili: $p\{X\}=\frac 1 2$;
I punteggi che può ottenere il giocatore B non lo sono;
la probabilità di ottenere un punteggio k per il giocatore B è pari a:
$pr\{Y=k\}\/=\/\\ pr\{D1=k\/\cap\/D2k\}\/\cup\/pr\{D1=k\/\cap\/D2>k\/\cap\/D3k\}\/\cup\/pr\{D1>k\/\cap\/D2=k\/\cap\/D3k\/\cap\/D3=k\}\/\cup\/pr\{D1>k\/\cap\/D2<k\/\cap\/D3=k\}\/\cup\/\\ pr\{D1=k\/\cap\/D2=k\/\cap\/D3\ne k\}\/\cup\/pr\{D1\ne k\/\cap\/D2=k\/\cap\/D3=k\}\/\cup\/pr\{D1=k\/\cap\/D2\ne k\/\cap\/D3=k\}\/\cup\/\\ pr\{D1=k\/\cap\/D2=k\/\cap\/D3=k\}$

dove $D1$, $D2$ e $D3$ sono i punteggi dei 3 dadi.

Sostituendo i numeri si ottiene:

$pr\{Y=1\}\/=\/0\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{2}{27}\vspace{30}$
$pr\{Y=2\}\/=\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac46\/\cdot2\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{5}{27}\vspace{30}$
$pr\{Y=3\}\/=\/\frac16\/\cdot\/\frac26\/\cdot\/\frac36\/\cdot2\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{13}{54}\vspace{30}$
$pr\{Y=4\}\/=\/\frac16\/\cdot\/\frac26\/\cdot\/\frac36\/\cdot2\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{13}{54}\vspace{30}$
$pr\{Y=5\}\/=\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac46\/\cdot2\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{5}{27}\vspace{30}$
$pr\{Y=6\}\/=\/0\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac56\/\cdot3\/+\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac{2}{27}\vspace{30}$

Ossia il giocatore ottiene i punteggi 1, 2, 3, 4, 5 e 6, rispettivamente con probabilità $\frac{2}{27}$, $\frac{5}{27}$, $\frac{13}{54}$, $\frac{13}{54}$, $\frac{5}{27}$ e $\frac{2}{27}$.

Ora si nota che il valore atteso per i punteggi dei due giocatori (più precisamente il valore atteso delle variabili aleatorie $X$ e $Y$ che modellano il lancio di dadi per i due giocatori) è lo stesso, ossia:

A: $\langle X\rangle\/=\/(1+2+3+4+5+6)\/\cdot\/\frac16\/=\/\frac72\/=\/3,5\vspace{30}$
B: $\langle X\rangle\/=\/1\cdot\/\frac{2}{27}\/+\/2\cdot\/\frac{5}{27}\/+\/3\cdot\/\frac{13}{54}\/+\/4\cdot\/\frac{13}{54}\/+\/5\cdot\/\frac{5}{27}\/+\/6\cdot\/\frac{2}{27}\/=\/\frac{7}{2}\/=\/3,5$

Quindi la probabilità di vincere per i due giocatori, nelle condizioni iniziali, è la stessa (non ne sono del tutto sicuro).
Per cui se B accetta la proposta di A, riduce le sue possibilità di vincita al di sotto del 50%; per cui non gli conviene accettare.

SE&O
Admin

$p \left ( A \/ > \/ B \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ p \left ( A \/ < \/ B \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ \frac 5 {12} \\ p \left ( A \/ = \/ B \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ \frac 16$

che il valore medio atteso sia lo stesso per A e per B è vero, come dice pietro; ma non basta per dire che la probabilità di avere il punteggio maggiore è la stessa.
bisogna confrontare ogni possibile risultato di A con la gamma dei possibili risultati di B.
E' dall'incrocio del valore medio e della distribuzione dei risultati che si giunge a dire, correttamente, che il gioco è equo nella versione iniziale.

Non c'entra moltissimo, ma da qualche parte devo aver già proposto alcune considerazioni sulle probabilità di vittoria giocando con meccanismi casuali tipo "ruota della fortuna".
Immaginiamo due congegni
A genera sempre 4
B genera nei 2/3 dei casi 3 e in 1/3 dei casi 6
la media è sempre 4, ma giocando uno contro l'altro, A vince nel 67% delle partite
Se poi ci divertiamo a modificare i valori, possiamo portare B a dare 3,9 nel 51% e 100 nel 49%, con una media di quasi 13 volte più alta del 4 di A, che perà alla lunga vince !

delfo52 - Lunedì 10 Settembre 2007 - 14:41 ha scritto:
a me sembra che il gioco sia equo alle condizioni di partenza.

prima di fare i conti, ho pensato a che cosa cambierebbe se si cambiasse lo spirito della scommessa, facendo vincere il punteggio più basso.
il gioco è simmetrico.

Concordo pienamente, anche se non mi pare così ovvio che "facendo vincere il punteggio più basso" si vede che il gioco è simmetrico.

Io avevo pensato di "rovesciare la scala" (cioè di scambiare i valori 6 e 1, 5 e 2, 4 e 3), ottenendo, in pratica, lo stesso identico gioco, ma dove "vince il punteggio più basso".

E così mi pare ovvio che la probabilità di perdere è uguale a quella di vincere (anche se è minore di 0,5), cioè (viste le giocate) che il gioco sia equo.

si il gioco in partenza e' equo anche per me...

l'ho pensato con un dado da 3 contro n dadi da 3.

se devo scegliere il valore centrale piu' sono i dadi piu' e' probabile che il risultato sia 2. mentre agli estremi avro' 1 e 3 in egual misura.

estremizzando avrei un dado da 3 contro un 2 fisso.