498

[Quelo]

Il 13/12/23 abbiamo "toccato" il numero di 498 utenti connessi
Numero palindromo in Base5

[Gianfranco]

Grazie Quelo!

Base 1 : ||||| (488 volte |) |||||
Base 2 : 111110010
Base 3 : 200110
Base 4 : 13302
Base 5 : 3443
Base 6 : 2150
Base 7 : 1311
Base 8 : 762
Base 9 : 613
Base 10: 498
Base 11: 413
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Nota. Nel sistema in base 1 non esiste lo 0 perché ci deve essere un solo simbolo.
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Domanda:
Esistono numeri che sono palindromi in più di una base numerica?
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Una piccola curiosità umoristica.
Ho chiesto a Copilot di Bing (l'intelligenza artificiale del browser di Microsoft)
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Potresti scrivere il numero 498 in tutte le basi da 2 a 10?
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Prima risposta:
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Certamente! Ecco il numero 498 espresso in diverse basi numeriche:

Base 2 (binaria): (498 = 111110010)
Base 3 (ternaria): (498 = 20000)
Base 4 (quaternaria): (498 = 1302)
Base 5 (quintaria): (498 = 1443)
Base 6 (sestaria): (498 = 1002)
Base 7 (settaria): (498 = 1020)
Base 8 (ottale): (498 = 762)
Base 9 (nonaria): (498 = 553)
Base 10 (decimale): (498)
Base 11 (undecimale): (498 = 408)
Spero che queste rappresentazioni ti siano utili!
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Mio commento:
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I numeri che hai scritto sono quasi tutti sbagliati.
Potresti correggerli per favore?
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Mi scuso per l’errore nei numeri precedenti. Ecco la correzione:

Base 2 (binaria): (498 = 111110010)
Base 3 (ternaria): (498 = 20000)
Base 4 (quaternaria): (498 = 13022)
Base 5 (quintaria): (498 = 14433)
Base 6 (sestaria): (498 = 10024)
Base 7 (settaria): (498 = 10205)
Base 8 (ottale): (498 = 762)
Base 9 (nonaria): (498 = 553)
Base 10 (decimale): (498)
Base 11 (undecimale): (498 = 408)
Grazie per avermelo fatto notare!
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Gli unici esatti sono quelli in base 2, 8, 10. Forse il Copilot conosce bene quelle tre basi numeriche.

[Quelo]

Anche ChatGPT non scherza:

Ecco come esprimere il numero 498 nelle basi da 2 a 10:
Base 2 (binario): 111110010
Base 3 (ternario): 200200
Base 4 (quaternario): 13302
Base 5 (quintale): 1443
Base 6 (senario): 1012
Base 7 (settenario): 1305
Base 8 (ottale): 762
Base 9 (novenario): 663
Base 10 (decimale): 498

Per rispondere alla domanda di Gianfranco (considerando le basi da 2 a 16):
- 255 è palindromo in 5 basi diverse ma non in base 10
- 121 e 373 sono palindromi in base 10 e anche in altre 3 basi

[panurgo]

Per esempio, abbiamo

$\begin{array}{rclC}
(10\cdots 10)1_2 & = & (1\cdots 1)1_4 \\
(10\cdots 10)1_3 & = & (1\cdots 1)1_9 \\
& \vdots & \\
(10\cdots 10)1_k & = & (1\cdots 1)1_{k^2} \\
& \vdots &
\end{array}$


dove con $n_b$ si intende "$n$ in base $b$"

[Gianfranco]

Grazie Quelo e Panurgo!

Quelo, 255 è palindromo anche in base 1 e base 254.

[panurgo]

Grazie Quelo e Panurgo!

Quelo, 255 è palindromo anche in base 1 e base 254.

In base $1$ tutti i numeri sono palindromi: lo considero un caso banale come quello dei numeri di una cifra (es. $1$ è palindromo in qualsiasi base numerica, $2$ in tutte le basi maggiori di $2$, $3$ in quelle maggiori di $3$ ecc.).

[Gianfranco]

Panurgo, infatti la faccina sorridente indica che la mia era una battuta umoristica (di basso livello).
Anche tutti gli n>1 (in base 10) sono banalmente palindromi in base n-1, se non sbaglio.

[panurgo]

Sono al lavoro: non ci ero arrivato...