La tavola rotante

[ronfo]

Ecco ora il secondo problema di cui vi avevo accennato e che non solo non sono riuscito a risolvere , ma anche leggendo la soluzione non ho capito ( anche se intuitivamente sembra ovvia la risposta).
Togliendo tutti i fronzoli e amminnicoli vari della presentazione fate conto di avere una tavola rotonda con 24 segna posto situati alla stessa distanza uno dall'altro ;entrano 24 persone e si siedono casualmente intorno al tavolo . Essi scoprono che nessuno si è seduto al posto giusto .
Domanda :
senza considerare in che modo essi siano seduti , è possibile fare ruotare la tavola finchè almeno due persone contemporaneamente si trovino di fronte al rispettivo segnaposto.
Io ho provato a dimostrarlo per via induttiva partendo con un tavolo e 1 segna posto (ovvio) poi con con un tavolo e due segna posto ( anche questo ovvio) con un tavolo e tre persone c'è il caso che non sia possibile avere due persone di fronte al proprio segnaposto mentre con quattro si ...
sembra che se le persone siano in numero dispari non si possa fare.

Per completezza vi invio la soluzione così com'è
"la dimostrazione più semplice è basata su quello che i matematici definiscono come > se n oggetti sono sistemati in n-1 nidi , almeno un nido deve contenere due oggetti. Se intorno al tavolo possono sedersi 24 persone , e se nessuna è seduta al posto giusto, è evidenteche è possibile portare ogni persona di fronte al suo segnaposto attraverso una adeguata rotazione del tavolo. Dunque ruotando il tavolo , almeno due persone devono trovarsi contemporaneamente al posto giusto. questa dimostrazione è valida anche nel caso di un numero dispari di posti "???
Come dicevo se VOI PROVATE CON TRE PERSONE l'affermazione di sopra è smentita, e poi quel "Dunque ruotando il tavolo" non è tanto dunque ...
Vi auguro buon divertimento.
CIAO

[giobimbo]

Il tavolo può assumere 24 posizioni che indichiamo con t1, t2, ... t24; indichiamo le 24 persone con p1, p2, ..., p24.
Con t1 nessuna persona è al suo posto, con t2 abbiamo p2 al suo posto, con t3 abbiamo p3 al suo posto, ..., con t24 abbiamo p24 al suo posto. A questo punto abbiamo ruotato il tavolo in tutte le posizioni possibili, ma alla persona p1 cosa è successo, possibile che non si sia mai trovata davanti al suo segnaposto?

Son curioso di vedere il tuo esempio con tre persone.

[delfo52]

la spiegazione forse è più semplice messa così:
ci sono 24 possibili posizioni del tavolo.
Partiamo da una che (guarda caso) non va bene per nessuno dei 24 invitati.
via via che spostiamo di una "tacca" il tavolo, prima o poi ognuno avrà di fronte a sè il suo piatto-
Siccome le posizioni rimaste disponibili sono 23 e i commensali sono 24....

[Admin]

In pratica,
le 23 rimanenti disposizioni del tavolo sono i cassetti;
mentre le persone al posto giusto, sono i piccioni.

Ora, siccome al termine di tutte le 23 rotazioni del tavolo, ogni persona si sarà trovata sicuramente una volta al posto giusto, ciò significa che ogni persona (piccione) deve trovarsi per forza in un cassetto;
siccome abbiamo detto che i cassetti sono 23, mentre le persone intorno al tavolo sono 24, si ha che per forza 2 di esse si troveranno nello stesso cassetto;
ossia almeno 2 di esse si troveranno al posto giusto, ruotando il tavolo.

Lo stesso ragionamento se intorno al tavolo abbiamo un numero generico $n$ di persone;

in particolare, per il caso $n\/=\/3$ si possono avere solo due configurazioni iniziali, tali che nessuna persona sia seduta al posto giusto; ossia:

a) b)

nella a), ruotando in senso orario il tavolo di un posto, le persone si trovano tutte allo stesso posto;
nella b), ruotando in senso orario il tavolo di due posti, le persone si trovano tutte allo stesso posto.

Ciao
Admin